Геометрия решений некоторых одномерных задач оптимизации формы

Аннотация

Актуальность темы и степень разработанности. В диссертации решаются различные одномерные задачи оптимизации формы. Так, первые две главы работы посвящены задачам минимизации функционала длины плоских множеств при некоторых ограничениях. Такие задачи близки как к классическим задачам теории графов и теории сложности, так и к прикладным задачам оптимизации транспортных сетей. Несмотря на то, что постановки рассматриваемых задач являются достаточно классическими и элементарными, решения подобных задач зачастую очень сложны и лишь в редких случаях могут быть получены в явном виде или с помощью вычислительных методов, поскольку задачи такого рода обычно являются NP -полными. Примеров, когда задачи рассматриваемого класса решены в явном виде, известно крайне мало, а в данной диссертации построены именно явные решения: в первой главе построена серия штейнеровских деревьев (каждой достаточно быстро убывающей последовательности чисел соответствует штейнеровское дерево), а во второй главе найдены решения для большого семейства замкнутых кривых (для произвольных множеств с достаточно большим радиусом кривизны). Ввиду вышеизложенного результаты данной диссертации могут оказаться полезными для тестирования различных алгоритмов.