Изучение решения краевой задачи для сингулярного дифференциального уравнения второго порядка с помощью полиномов чебышева спектральным методом

Аннотация

This paper examines the problem of finding and analyzing the solution of a boundary value problem for a second-order singular differential equation using the spectral method based on Chebyshev polynomials. Keywords: singular differential equation, Chebyshev polynomials, spectral method, boundary value problem, orthogonal polynomials, recursive relations. Kirish. Singulyar differensial tenglamalarni yechish usullari zamonaviy matematikaliq modellashtirishda katta ahamiyatga ega, chunki ular real dunyo muammolarida, masalan, tebranish jarayonlari yoki issiqlik o‘tkazuvchanligini modellashtirishda uchraydi. Chebishev polinomlari yordamida spektral usulni qo‘llash yechimning aniqligini oshiradi va hisoblash xarajatlarini kamaytiradi. Ikkinchi tartibli singulyar differensial tenglamalar matematika va fizikaning ko‘p sohalarda, masalan, approksimatsiya nazariyasi, mexanika va signalni qayta ishlashda muhim rol o‘ynaydi. Ushbu tenglamalarni yechishda Chebishev polinomlari ortogonal xususiyatlari tufayli samarali vosita sifatida qo‘llaniladi. Mazkur ishda [-1, 1] intervalida chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan ikkinchi tartibli differensial tenglamaning spektral usul yordamida yechimini o‘rganish maqsad qilingan[1]. Masalaning qo‘yilishi. Chebishev polinomlari bilan bog‘liq bo‘lgan differensial tenglamani ko‘rib chiqaylik: (1−𝑥2)𝑦′′ − 𝑥𝑦′ + 𝜆𝑦 = 0, −1 < 𝑥 < 1, 237 Современные проблемы интеллектуальных систем. Республиканская научно-практическая конференция. Джизак, 18-19 апреля 2025 г. bu yerda 𝑦 = 𝑦(𝑥) — izlanayotgan funksiya, 𝑦′′ = 𝑑2𝑥 — ikkinchi hosila, 𝑦′ = 𝑑𝑥 — 𝑑𝑥2 𝑑𝑦 birinchi hosila, λ esa yechimning xarakterini belgilaydigan parametrdir. Belgilangan soha ochiq interval sifatida -1 < x < 1 shaklida berilgan. Ushbu tenglamaga chegarа shartlari qo‘yiladi, ya’ni y(x) funksiyasi interval chegaralariga yaqinlashganda, ya’ni 𝑥 → −1 va 𝑥 → 1 da cheklangan bo‘lishi talab qilinadi. Tenglamani tahlil qilish va yechish usulini tanlash. Ushbu tenglama o‘zgaruvchan koeffitsientlarga ega bo‘lgan ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamadir. 𝑦′′ oldidagi koeffitsient 1−𝑥2 bo‘lib, u 𝑥 = ± 1 da nolga aylanadi, bu esa ushbu nuqtalarni maxsus (singulyar) nuqtalar qiladi. O‘zgaruvchan koeffitsientlar tufayli doimiy koeffitsientli tenglamalar uchun xos bo‘lgan standart usullar qo‘llanilmaydi. Buning o‘rniga yechimni darajali qator shaklida izlash mantiqiy[2]. Yechimni darajali qator shaklida izlash. Yechim quyidagi shaklda bo‘lishini faraz qilamiz: 𝑦(𝑥) = ∑𝑎 𝑥𝑘, 𝑘 𝑘=0 bu yerda 𝑎 — qator koeffitsientlari. Tenglama bilan ishlash uchun ushbu qatorning 𝑘 hosilalarini hisoblaymiz: 𝑦′(𝑥) = ∑𝑘𝑎 𝑥𝑘−1, 𝑘 𝑘=1 𝑦′′(𝑥) = ∑𝑘(𝑘−1)𝑎 𝑥𝑘−2, 𝑘 𝑘=2 Ushbu ifodalarni asl tenglamaga qo‘yib: (1−𝑥2)∑𝑘(𝑘−1)𝑎 𝑥𝑘−2 −𝑥∑𝑘𝑎 𝑥𝑘−1 + λ∑𝑎 𝑥𝑘 = 0 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘=2 𝑘=1 𝑘=0 Ayrim algebraik amallardan so‘ng va x ning darajalariga ko‘ra taqqoslash natijasida quyidagi rekurrent munosabatga kelamiz: 𝑘2 − 𝜆 𝑎 = 𝑎 𝑘 = 0,1,2… 𝑘+2 (𝑘+1)(𝑘+2) 𝑘 Polinomial yechimlarni aniqlash va Chebishev polinomlari bilan bog‘liqligi. Yechim polinom bo‘lishi uchun qator uzilishi kerak, ya’ni 𝑎 = 0 bo‘lishi kerak. Bu holat quyidagi k+2 shartda sodir bo‘ladi: 𝑘2 – 𝜆 = 0, 𝜆 = 𝑘2. Chunki k butun manfiy bo‘lmagan son (𝑘 = 0,1,2,…), 𝜆 = 𝑛2 deb belgilaymiz, bu yerda n biror butun son. Shunda k = n bo‘lganda 𝑎 = 0 bo‘ladi va undan keyingi barcha 𝑛 + 2 koeffitsientlar ham nolga aylanadi. Bu qatorning uzilishini, y(x) esa n darajali polinomga aylanishini anglatadi. Chebishev polinomlari bilan bog‘liqlikni aniq ko‘rish uchun n ning bir nechta qiymatlarini ko‘rib chiqamiz. Birinchi turdagi Chebishev polinomlari T (x) rekurrent tarzda belgilanadi: n 𝑇 (𝑥) = 1, 𝑇 (𝑥) = 𝑥, 𝑇 (𝑥) = 2𝑥𝑇 (𝑥) − 𝑇 (𝑥), 0 1 𝑛+2 𝑛+1 𝑛 va 𝜆 = 𝑛2 da Chebishev tenglamasini qanoatlantiradi. Misollar:  λ = 0 (n = 0) uchun:  𝑎 = − 0∙𝑎0 = 0, 𝑎 = 0, 𝑎 = 0,…, 2 4 6 2 238 Современные проблемы интеллектуальных систем. Республиканская научно-практическая конференция. Джизак, 18-19 апреля 2025 г.  𝑦(𝑥) = 𝑎 . 0 bu T (x) = 1 ga doimiygacha mos keladi. 0  λ = 1 (n = 1) uchun 𝑎 = − 1∙𝑎0 = 0, 𝑎 − (1−1)∙𝑎1 = 0, 𝑎 = 0,…, 2 3 4 2 6 va boshlang‘ich shartlarga ko‘ra 𝑎 = 0, 𝑎 = 1 tanlansa, y(x) = x bo‘ladi, bu 𝑇 (𝑥) ga mos 0 1 𝑛 keladi. Chebishev polinomlari 𝑇 (𝑥) [−1,1] da belgilangan va polinom bo‘lgani uchun cheklangan. 𝑛 Ularning chegaradagi qiymatlari: 𝑇 (1) = 1,𝑇 (−1) = (−1)𝑛, 𝑛 𝑛 bu chekli qiymatlar bo‘lib, 𝑥 → ± 1 da cheklanganlik talabini qanoatlantiradi. Natijalar. Darajali qator usuli masalani koeffitsientlarni belgilovchi rekurrent bog‘lanishga keltirib chiqardi. 𝜆 = 𝑛2 da qatorning uzilishi sharti polinomial yechimlar faqat diskret 𝜆 qiymatlari uchun paydo bo‘lishini ko‘rsatdi va bu yechimlar birinchi turdagi Chebishev polinomlari ekanligini aniqladi. Yechimning yakuniy natijasi: 𝜆 = 𝑛2uchun, bu yerda n = 0, 1, 2,..., chegarа shartlarini hisobga olgan holda differensial tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha yoziladi: 𝑦(𝑥) = 𝑐 𝑇 (𝑥), 1 𝑛 bu yerda 𝑐 ixtiyoriy doimiy, 𝑇 (𝑥)esa n darajali birinchi turdagi Chebishev polinomidir. 1 𝑛 Ad