RATSIONAL FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH

Аннотация

В данной статье приведены несколько методов интегрирования рациональных функций. В частности, представлены методы неопределённых коеффициентов, метод Хевисайда, использование дифференцирования, схема Гонернера и другие. Рассмотрены задачи нахождения интегралов нескольких рациональных дробей с использованием данных методов. Ключевые слова.Рациональный, рациональная дробь, интеграл, дифференциал, схема Горнера, метод Хевисайда, метод Остроградского. INTEGRATING RATSIONAL FUNCTIONS Annotation. This article presents several methods for integrating rational functions. In particular, the methods of undetermined coefficients, the Heaviside cover- up method, using differentiation, Horner’s scheme and others are provided. Problems of finding the integrals of several rational fractions using these methods are considered. Keywords. Rational, rational fraction, integral, differential, Horner’s scheme, Heaviside cover-up method, Ostrogradsky method. No’malum koeffitsiyentlar usuli. Ikkita algebraic ko‘phadlarning nisbatiga, ya’ni P (x) f(x)  m (1) Q (x) n https://scientific-jl.com 2 8 9 67-son_1-to’plam_Avgust-2025 ISSN:3030- 3 6 1 3 T A D Q I Q O T L A R jahon ilmiy – metodik jurnali Ifodali ratsional funksiya yoki ratsional kasr deb ataladi. Bunda, P (x)b bx...b xm va Q (x)a a x...b xn (b ,a  0,m0,n1) haqiqiy m 0 1 m n 0 1 n m n koeffitsiyentli ko‘phadlar , deb faraz qilinadi. P (x) Agar mn bo‘lsa, u holda f(x)  m to‘g‘ri kasr ratsional funksiya, mn Q (x) n bo‘lganda esa, noto‘g‘ri kasr ratsional funksiya deyiladi. Agar (1) ratsional kasr , noto‘g‘ri kasr bo‘lsa u kasrning suratini mahrajiga bo‘lish yo‘li bilan, P (x) f(x)  w k k  n (2) Q (x) n ko‘rinishga keltiriladi, bunda w(x)- biror ko‘phad. Oliy algebra kursidan ma’lumki, har qanday Q (x) ko‘phadni, ushbu n Q (x)  a (x)(x)...(x) (3) n n ko‘rinishda tasvirlash mumkin.(bunda ,,…,-lar Q (x) 0 tenglamaning ildizlari. n Agarda ko‘phadning ildizlari ichida o‘zaro tenglari bo‘lsa, u holda, ko‘phad, Q (x) a (x)r(x)s...(x)t (4) n n ko‘rinishga keltiriladi, bunda r,s,…,t – butun sonlar, ,,…, sonlar esa, mos ravishda, Q (x) ko‘phadning r,s,…,t – karrali ildizlari deyiladi va rs...t n n bo‘ladi. Ko‘phadning (3) dagi ildizlari Ichida kompleks ildizlar ham bo‘lishi mumkin. Algebra kursidan ma’lumki, agar z  aib haqiqiy koeffitsiyentli ko‘phadning r- karrali ildizi bo‘lsa, u holda unga qo‘shma z aib son ham ko‘phadning r – karrali ildizi bo‘ladi. Boshqacha aytganda, agar (4) ning tarkibidagi (x)r va (x)r larning ko‘paytmasi, quyidagicha bo‘ladi: (x)r(x)r  x(aib)x(aib)r x2 x(aib)x(aib)a2 b2x2 2axa2 b2(x2 2pxq)r Bunda p  a,q  a2 b2.p2 q  0 va p,qR Xuddi shunday yuqoridagi mulohazalarni boshqa kompleks ildizlar uchun ham yuritsak, u holda (4) quyidagi ko‘rinishni oladi: Q (x) A(x)r(x)s...(x2 2pxq)t(x 2uxv),..., n Bunda ,,..., p,q,u,vhaqiqiy sonlar, r,s,...,t,k-natural sonlar. Quyidagi teoremani qaraylik, P (x) Teorema. Agar m to‘g‘ri ratsional kasr tarkibidagi Q (x) ko‘phad (5) shaklda Q (x) n n tasvirlangan bo‘lsa, u holda, ratsional kasr, yagona ravishda, P (x) A A A M xN M xN M xN m  1  2 ... r ... 1 1  2 2 ... t t .. Q (x) (x) (x)2 (x)r x2 2pxq (x2 2pxq)2 (x2 2pxq)t n (6) https://scientific-jl.com 2 9 0 67-son_1-to’plam_Avgust-2025 ISSN:3030- 3 6 1 3 T A D Q I Q O T L A R jahon ilmiy – metodik jurnali (bunda, A , A ,…, A , M , N , M , N ,…, M , N ,…, - no’malum haqiqiy sonlar) 1 2 r 1 1 2 2 t t ko‘rinishida tasvirlanadi. (6) tenglik, x ning Q (x) ko‘phadning haqiqiy ildizlariga n teng bo‘lmagan hamma qiymatlarida o‘rinli. (6) dagi no’malum koeffitsiyentlarni toppish uchun (6) ni umumiy mahrajga keltirib, (umumiy mahraj Q (x) ) ikki ko‘phadning tengligi haqidagi teoremaga n asosan, o‘ng tomon suratida hosil bo‘lgan ko‘phad bilan P (x) ko‘phaddagi x ning bir m xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlarni tenglashtirish natijasida, no’malum koeffitsiyentlarga nisbatan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi. Bu sistemadan no’malum koeffitsiyentlarni topib, topilgan qiymatlarni (6) tenglikka keltirib qo‘yamiz. Kasrning yoyilmasidagi no’malum koeffitsiyentlarni topishning bu usuli, no’malum koeffitsiyentlar usuli deb ataladi. P (x) Shunday qilib, f(x)  m ratsional kasrning integralini hisoblash, Q (x) n w(x) c xk c xk1 ...c shakldagi ko‘phadni integrallashga va quyidagi 0 1 k A A MxN MxN I. , II. , III. , IV. (7) x (x)r x2  pxq (x2  pxq)r p2 (r 1) (bunda A,M,N,, p,q- haqiqiy sonlar, q  0 ) ko‘rinishidagi sodda 4 kasrlarni integrallashga keltiriladi. Bu sodda kasrlarning integrallari quyidagicha hisoblanadi. A BxC Quyidagi, , (A,B,C,a,p,qR,k,mN) (xa)m (x2  pxq)k Ko‘rinishidagi sodda kasrlarni qaraymiz. U holda: A dx 1) m 1 bo‘lganda ,  dx  A  Aln xa C. xa xa A A 1 2) m 1 bo‘lganda,  dx  A(xa)mdx  C. (xa)m 1m (xa)m1 p2 p 3) k 1 bo‘lganda, a2  q ,x t almashtirish olib, kvadrat uchhadni, 4 2 x