DIFFERENSIAL TENGLAMALAR VA ULARNING TIBBIYOTDA QO‘LLANILISHI

Аннотация

Данная статья посвящена математическим основам дифференциальных уравнений и их широкому практическому применению в различных областях. В статье рассматриваются основные типы дифференциальных уравнений, методы их решения и их важность в естественных науках, инженерии, экономике и других областях. Ключевые слова: Дифференциальное уравнение, SIR-модель, модель, задача Коши. Kirish. Differensial tenglamalar fizika, mexanika, differensial geometriya, variatsion hisob, issiqlik texnikasi, elektrotexnika, kimyo, biologiya va iqtisod kabi fanlarda keng qo‘llaniladi. Bu fanlarda uchraydigan ko‘plab jarayonlar differensial tenglamalar yordamida tavsiflanadi. Shu tenglamalarni o‘rganish bilan tegishli jarayonlar haqida biror ma’lumotga, tasavvurga ega bo‘lamiz. O‘sha differensial tenglamalar, o‘rganilayotgan jarayonning matematik modelidan iborat bo‘ladi. Bu model qancha mukammal bo‘lsa, differensial tenglamalarni o‘rganish natijasida olingan ma’lumotlar jarayonlarni shuncha to‘la tavsiflaydi. Shuni aytib o‘tish kerakki, tabiatda uchraydigan turli jarayonlar bir xil differensial tenglamalar bilan tavsiflanishi mumkin. https://scientific-jl.com 2 9 6 67-son_1-to’plam_Avgust-2025 ISSN:3030- 3 6 1 3 T A D Q I Q O T L A R jahon ilmiy – metodik jurnali Ta’rif. Differensial tenglama deb, erkli o‘zgaruvchi 𝑥, noma’lum funksiya 𝑦va uning hosilalari orasidagi bog‘lanishdan iborat bo‘lgan tenglamaga aytiladi. U simvolik ravishda 𝐹(𝑥,𝑦,𝑦′,𝑦″,…,𝑦(𝑛)) = 0 (1) ko‘rinishda yoziladi. Bunda 𝐹 ko‘rilayotgan sohada o‘z argumentlarining uzluksiz funksiyasidir. (1) tenglamada erkli o‘zgaruvchi, noma’lum funksiya va uning hosilalardan bir nechtasi qatnashmasligi mumkin. Lekin u differensial tenglama bo‘lsa, u holda hosilalardan hech bo‘lmaganda bittasi qatnashishi shart. Differensial tenglama tarkibiga kirgan hosilalarning eng yuqori tartibiga, differensial tenglamaning tartibi deyiladi. Masalan (1) tenglama, 𝑛 -chi tartibli differensial tenglamadir. Agar tenlamadagi noma’lum funksiya faqat bitta erkli o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lsa, bunday tenglamaga oddiy differensial tenglama deyiladi (ODT). Agar tenglamadagi noma’lum funksiya bir nechta erkli o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lsa, tenglamada har bir erkli o‘zgaruvchilar bo‘yicha olingan xususiy hosilalar qatnashishi mumkin. Bunday differensial tenglamalarga xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi. Masalan, 𝑢(𝑥,𝑦) funksiya ikkita x,y agrumentlarga bog‘liq bo‘lsin. U holda 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝐹(𝑥,𝑦,𝑢, , , , , ) = 0 (2) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥2 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦2 tenglamaga ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi. 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝐹(𝑥,𝑦,𝑢, , ) = 0 (3) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 ga esa birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi. Birinchi tartibli ODTning umumiy ko‘rinishi 𝐹(𝑥,𝑦,𝑦′) = 0 (4) dan iborat. Agar bu tenglamani 𝑦′ga nisbatan yechish mumkin bo‘lsa ya’ni 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥,𝑦) yoki 𝑦′ = 𝑓(𝑥,𝑦) (5) 𝑑𝑥 tenglamaga hosilaga nisbatan yechilgan differensial tenglama deyiladi. Agarda, 𝑦 = 𝜓(𝑥,𝑐) (6) (6) funksiya, (5) tenglamani qanoatlantirsa, unga tenglamaning umumiy yechimi deyiladi. Bunda 𝑐 - ixtiyoriy o‘zgarmas son (parametr). Ba‘zi vaqtlarda umumiy yechim oshkormas 𝐹(𝑥,𝑦,𝑐) = 0 (7) ravishda berilishi mumkin (7) yechimga, tenglamaning umumiy integrali deyiladi. Tenglamaninng umumiy 𝑦 = 𝜓(𝑥,𝑐) yechimi yoki umumiy 𝐹(𝑥,𝑦,𝑐) = 0 integrali, geometrik nuqtayi nazardan, bitta parametrga bog’liq bo‘lgan egri chiziqlar oilasini ifodalaydi. Tekislikda har bir yechim egri chiziqdan iborat. Unga tenglamaning integral chizig‘i deyiladi. (5) tenglamani geometrik nuqtayi nazardan tekshiramiz. https://scientific-jl.com 2 9 7 67-son_1-to’plam_Avgust-2025 ISSN:3030- 3 6 1 3 T A D Q I Q O T L A R jahon ilmiy – metodik jurnali 𝑥 va 𝑦o‘zgaruvchini tekislikdagi nuqtaning dekart koordinatalari uchun qabul qilsak, u holda 𝑓(𝑥,𝑦) funksiya aniqlangan 𝐺 sohaning har bir 𝑥,𝑦nuqtasiga (5) tenglama, 𝐺 sohaning har bir nuqtadan o‘tuvchi integral chiziqqa o‘tkazilgan 𝑑𝑦 urinmaning burchak koeffisiyentini ifodalaydi. Boshqacha aytganda qiymatini mos 𝑑𝑥 𝑑𝑦 qo’yadi. ning qiymati, 𝑦 = 𝜙(𝑥) integral chizig‘ining ixtiyoriy nuqtasiga 𝑑𝑥 o‘tkazilgan urinmaning absissa o‘qining musbat yo‘nalishi bilan tashkil etgan burchakning tangensini bildiradi. Ya‘ni har bir nuqtada urinmaning yo‘nalishini aniqlaydi. Biz yo‘nalishlar maydoniga ega bo‘lamiz. Demak, geometrik nuqtayi nazardan birinchi tartibli differensial tenglamani yechish, shunday chiziqlarni topish kerakki, uning har bir nuqtasiga o‘tkazilgan urinmaning yo‘nalishi, shu nuqtadagi yo‘nalishlar maydoniga mos kelsin. Ta’rif. Bir xil yo‘nalish maydoniga ega bo‘lgan nuqtalarning geometrik o‘rniga izoklina deyiladi. Izoklinalarga ko‘ra, differensial tenglamalarning integral chiziqlarni chizish mumkin. Izoklinalar usuli Hosilaga nisbatan yechilgan quyidagi birinchi tartibli differensial tenglama berilgan bo‘lsin 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥,𝑦). (5) 𝑑𝑥 Differensial tenglamaning integral chiziqlarini chizish uchun quyidagi ishlarni bajarish kerak. 1. Agar berilgan differensial tenglama hosilaga nisbatan yechilmagan bo‘lsa,