FUNKSIYA TUSHUNCHASI. FUNKSIYANING ANIQLANISH VA QIYMATLAR SOHASI. FUNKSIYANING BERILISH USULLARI. FUNKSIYA XOSSALARI(JUFT-TOQLIGI, MONOTONLIGI, CHEGARALANGANLIGI, NOLLARI, O‘ZGARMASLIK ORALIQLARI, DAVRIYLIGI)

Аннотация

В данной статье раскрываются основные понятия математики функций. Сначала даются объяснения определения функции, её области определения и области значений. Рассматриваются способы задания функции — с помощью таблицы, формулы, графика и словесного описания. Также в статье изложены основные свойства функций с примерами — чётность или нечётность, монотонность (возрастающая или убывающая), ограниченность, нули функции, промежутки постоянства и периодичность. Статья будет полезна учащимся и преподавателям математикидля закрепления теоретических знаний. Ключевые слова: Функция, область определения, область значений, способы задания функции, чётная функция, нечётная функция, монотонность, ограниченность, нули функции, промежутки постоянства,периодичность,математика,график. Kirish. Zamonaviy matematikada funksiya tushunchasi markaziy o‘rin egallaydi. Matematikaning deyarli barcha bo‘limlari — algebra, analiz, geometriya, statistika va hatto zamonaviy texnologiyalar asosida ham aynan funksiyalar yotadi. Hayotimizning ko‘plab jabhalarida — fizika, kimyo, iqtisodiyot, texnika va axborot texnologiyalarida turli jarayonlar o‘rtasidagi bog‘liqliklarni ifodalashda funksiyalar asosiy vosita sifatida qo‘llaniladi. Shu bois, funksiyaning mohiyatini, uning asosiy xususiyatlarini va berilish usullarini chuqur o‘rganish har bir o‘quvchi va matematik uchun muhim hisoblanadi. worldlyjournals.com ILMIY TADQIQOTLAR VA ULARNING YECHIMLARI JURNALI JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCH AND THEIR SOLUTIONS VOLUME 6, ISSUE 01, IYUL 2025 WORLDLY KNOWLEDGE NASHRIYOTI Funksiya — bu bir to‘plamdagi har bir elementga ikkinchi to‘plamdagi yagona elementni mos qo‘yish qoidasi. Ushbu munosabat matematik modellashda muhim ahamiyatga ega bo‘lib, real hayotdagi turli hodisa va jarayonlarni matematik shaklda ifodalash imkonini beradi. Masalan, avtomobilning harakat tezligi va vaqt o‘rtasidagi bog‘liqlik, iqtisodiyotda narx va talab munosabati, biologiyada populyatsiyalar soniningvaqtga bog‘liqligi funksiyalar orqali ifodalanadi. Funksiyalar turli usullar orqali berilishi mumkin: og‘zaki ta’riflash, formulalar yordamida ifodalash, maxsus jadvallar tuzish yoki grafik chizish orqali. Har bir usul o‘zining qulayligi va amaliy ahamiyatiga ega. Ayniqsa, grafik orqali funksiyaning xatti-harakatini ko‘rish va uning xossalarini aniqlash osonlashadi. Funksiya tushunchasini chuqur o‘rganishda uning aniqlanish sohasi va qiymatlar sohasi kabi tushunchalar muhim ahamiyatga ega. Shu bilan birga, funksiyaning juft yoki toq bo‘lishi, monotonligi (o‘suvchi yoki kamayuvchi), chegaralanganligi, funksiyaning nollari, o‘zgarmaslik oraliqlari va davriyligi kabi xususiyatlari uning tuzilishini va xatti-harakatini to‘liq tushunishga yordam beradi. Mazkur maqolada aynan shu tushunchalar izchil yoritiladi hamda har bir xususiyat misollar bilan tushuntiriladi. Maqola matematika fani bilan shug‘ullanayotgan o‘quvchilar va o‘qituvchilar uchun nazariy bilimlarni chuqurlashtirishdava amaliyotdaqo‘llashdafoydali bo‘lishi kutiladi. Funksiya tushunchasining ta’rifi. Amalda biz ko‘pincha turli o‘zgaruvchilar o‘rtasidagi bog‘liqliklarga duch kelamiz. Bunday o‘zaro bog‘langan miqdorlarga misollar: doiraning radiusi va yuzasi; joyning balandligi va havo bosimi; metall buyumning massasi va uning zichligi; y = x + 1 tenglamasini qanoatlantiruvchi xvayo‘zgaruvchilarning qiymatlari va boshqalar. O‘zgaruvchilarning o‘ziga xos ma’nosidan chetga chiqamiz va faraz qilaylik, x va y shunday bog‘langanki, qaralaytgan x ning har bir qiymatiga y ning bitta aniq qiymati mos kelsin. Bunday holda, xva yqiymatlari funksional bog‘liqlikbilan o‘zaro bog‘langan, deb aytamiz. O‘lchov birliklarini tanlagandan so‘ng, har qanday o‘zgaruvchining qiymatlari sonlar bilan ifodalanadi. Shuning uchun, aslida, biz sonlar orasidagi ma’lum bir funksional munosabatni o‘rganamiz. Ta’rif. D to‘plamidagi har bir x soniga qandaydir aniq belgilangan y sonini mos qo‘yuvchi moslikkaDaniqlanish sohaga ega funksiya deb aytiladi. Bunday holda, x o‘zgaruvchining qiymati erkli o‘zgaruvchi (argument) deb ataladi va qiymatlari x ning tanlangan qiymatlari bilan belgilanadigan y qiymati esa erksiz o‘zgaruvchi yoki x argumentning funksiyasi deb ataladi. Funksiyaning aniqlanish va qiymatlar sohasi. Funksiyalar odatda lotin (ba’zan esa yunon) harflari bilan belgilanadi. Ixtiyoriy f funksiyani qaraylik. x soniga mos keladigan y soni f funksiyaning x nuqtadagi qiymati deyiladi va y = f(x) bilan belgilanadi. Bunda biz y x ning funksiyasi deymiz (y teng f xkabi o‘qiladi). f funksiyaning aniqlanish sohasi D(f) kabi belgilanadi. x - f funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli bo‘lgan barcha f(x) sonlardan tashkil topgan to‘plam f funksiyaning qiymatlar sohasi deyiladi va E(f)kabi belgilanadi. Funksiya tushunchasi va aniqlanish sohasi ta’riflaridan kelib chiqadiki, funksiya berilgan hisoblanadi, agar: -bufunksiyaning Daniqlanish sohasi ko‘rsatilgan bo‘lsa; - f ko‘rsatilgan qoida yordamida argumentning har bir x D qiymatiga unga mos keladigan funksiya q