ELLIPTIK DIFFERENSIAL OPERATORLAR SPEKTRAL YOYILAMALARINI YAQINLASHISHINING TAHLILI

Аннотация

Elliptik differensial operatorlar matematik fizika va spektral nazariyada muhim oʻrin tutadi. Ular kvant mexanikasidan tortib geofizikaga qadar turli sohalarda keng qoʻllaniladi. Bu operatorlarning spektral yoyilmalari, ularning xos funksiyalari va xos qiymatlari asosida tuzilgan boʻlib, murakkab jarayonlarni modellashtirishda muhim rol oʻynaydi. Bu maqolada elliptik differensial operatorlarga mos spektral yoyilmalarining yaqinlashishi ba’zi bir masalalar koʻrib chiqiladi. Kalit so‘zlar. Elliptik, Laplas, spektral yoyilma, xos funksiyalar, xos qiymatlar, norma, ortogonal bazis. Elliptik differensial operatorlar - bu bir necha o‘zgaruvchili differensial tenglamalarda ko‘p uchraydigan maxsusturdagi operatorlardir. Ular quyidagi xususiyatlargaega: Elliptiklik sharti: Agar P ( x,D ) = a ( x ) Da ko‘rinishidagi differensial operator a a m berilgan bo‘lsa, uholdaelliptiklik sharti quyidagicha ifodalanadi: P ( x,D ) = a ( x )xa 0, "x n ‚ {0} (1) a a=m Bu yerdaa-multi-indeks, D a-differensial operator va x-fazo o‘zgaruvchisi. n ¶2 Elliptik operatorlarga sodda holda Laplas operatorini D = misol qilib keltirish ¶x2 j=1 j mumkin. Bu operatorni elliptiklik shartini qanoatlantirishini tekshirib ko‘ramiz[1]. (1) shart bo‘yicha Laplas operatorining bosh belgisi s ( x,x) ni hisoblaymiz. Buning D uchun faqat eng yuqori tartibli hosilalar koeffitsientlarini olish kerak. Laplas operatorining barcha koeffitsientlari o‘zgarmas bo‘lgani uchun, n s ( x,x)= x2 . D j j=1 x Bu ifoda vektorining kvadratik normasi sifatida yozilishi mumkin: s ( x,x) = x 2 =x2 +x2 +...+x2 . D 1 2 n Kvadratik norma x 2 har doim x 0 bo‘lganda musbat bo‘ladi: 2 x >0 , "x ‚ {0}. Shuning uchun s ( x,x) 0, agar x 0. Bu esa Laplas operatori elliptiklik operatordir[2]. D Elliptik differensial operatorlarga mos spektral yoyilmalar nazariyasi funksional analiz 190 RAQAMLI TRANSFORMATSIYA SHAROITIDA SUN’IY INTELLEKTNI RIVOJLANTIRISH VA ZAMONAVIY MATEMATIKANI O‘QITISH MUAMMOLARI VA YECHIMLARI va matematik fizikaning muhim sohasidir. Spektral yoyilmalarni yaqinlashish yoki uzoqlashish masalalari aniqlanadi. Elliptik operatorlar uchun spektral yoyilma quyidagicha ifodalanadi: f ( x ) = c u ( x ) (2). n n n=1 Bunda u ( x )- operatorning xususiy funksiyasi, c - skalyar ko‘paytma orqali n n aniqlangan xususiy koeffitsient. Spektral yoyilma orqali ifodalangan funksiyaning yaqinlashishi deganda, funksiya va uning qismiy yig‘indilari orasidagi farqning kamayishi nazarda tutiladi. Elliptik operatorlar uchun bu jarayon quyidagi omillarga bog‘liq: Elliptik operatorning xususiy funksiyalari to‘plami funksional fazoda to‘liq bazis hosil qiladi. Ixtiyoriy f ( x ) L2(W) funksiya uchun qismiy yig‘indini S ( x )= c u ( x ) deb N n n n=1 olsak, u holda: f - S ®0, N ® . N L2 Bu shuni anglatadiki, funksiya va uning qismiy yig‘indilari orasidagi L2 - norma nolga intiladi[3]. Laplas operatori D = - ni W=( 0,p) sohada Dirixle shartini qanoatlantiruvchi ¶x2 quyidagi -Du ( x )=lu ( x ) , x W (3) u =0 masalani qaraylik. Masala f ( x ) L2( 0,p) funksiya uchun spektral yoyilmani topish va uni yaqinlashishga tekshiramiz. Laplas operatorining xususiy qiymatlari va xususiy funksiyalarini aniqlaymiz. ¶2u n =lu , u ( 0 )=u (p)=0 ¶x n n n n 2 tenglamani yechimi: u ( x )=sin ( nx ) , l =n2, n =1,2,3,... n n Xususiy funksiyalar to‘plami { sin(nx) } ortogonal bazis hosil qiladi. f ( x ) L2( 0,p) n=1 ni xususiy funksiyalarbo‘yicha yoyamiz: f ( x ) = c sin ( nx ) , n n=1 buyerda koeffitsientlar c quyidagicha hisoblanadi: n p 2 c = f ( x ) sin ( nx ) . n p 0 Qismiyyig‘indiesa quyidagiga teng, N S ( x )= c sin ( nx ) . N n n=1 191 RAQAMLI TRANSFORMATSIYA SHAROITIDA SUN’IY INTELLEKTNI RIVOJLANTIRISH VA ZAMONAVIY MATEMATIKANI O‘QITISH MUAMMOLARI VA YECHIMLARI ( ) ( ) Spektral yoyilmaning yaqinlashishi, ya’ni S x ning f x ga yaqinlashishini tekshirib N ko‘ramiz[4]. L2 norma bo‘yicha funksiyani f ( x ) L2( 0,p) Parseval tengsizligi bo‘yicha quyidagicha yozish mumkin: p f -S 2 = f ( x )-S ( x )2 dx = c 2 . N L2 N n 0 n=N+1 ( ) Bu yerda c koeffitsientlari f x ning Fur’e koeffitsientlari bo‘lib, ular kvadratik yig‘indisi n chekli: 2 c < . n n=1 Demak, N ® da: f -S ®0. N L2 Shunday qilib, qismiy yig‘indilar S ( x ) - funksiya f ( x ) L2 - norma bo‘yicha N yaqinlashadi. ( ) Maksimum normada f -S yaqinlashishni tekshirish murakkabroq jarayon N ( ) hisoblanadi. Chunki bu normada yaqinlashish faqat f x yetarlicha silliq bo‘lganda kuzatiladi[5]. ( ) ( ) ( ) Agar f x yetarlicha silliq bo‘lsa, unda S x funksiya f x ga tekisyaqinlashadi: N f -S ®0, N ® . N Elliptik differensial operatorlarning spektral yoyilmalarining yaqinlashishi ko‘plab sohalarda ya’ni issiqlik tarqalishi, to‘lqin tenglamalari, kvant mexanikasi, elektromagnit maydonlar, signalni siqish va tahlil qilish sohalarida keng qo‘llaniladi: Natijada, spektral yoyilmalar murakkab fizik va matematik masalalarni hal qilishdasamarali vositahisoblanadi.