IKKI TEZLIKLI MUHITNING HARAKAT TENGLAMALAR SISTEMASI

Аннотация

Ushbu maqolada olingan matematik modellarning ikki tezlikli muhit harakati modelining tenglamalar sistemasi energiya dissipatsiyasini hisobga olmagan holda to‘liq keltirib chiqarilgan. Kalit so’zlar. tenzor, geterofazoviy, kvazichiziqli, impuls, kontinum argument, orttirma, ekvivalent,invariant. Ikki tezlikli muhitning termodinamik mutanosib qaytar harakat tenglamalarida saqlanish qonunlari va termodinamika prinsiplari yordamida ishda tadqiq etiluvchi ikki tezlikli muhit harakati modelining tenglamalar sistemasi energiya dissipatsiyasini hisobga olmagan holda to‘liq keltirib chiqarilgan. Qaralayotgan muhitlar uchun holat tenglamalari olingan. Bundan tashqari, harakat tenglamalari elastik g‘ovak karkas va to‘ldiruvchi suyuqlik tezliklariga nisbatan chiziqlashtirilgan [1], [2]. Quyidagi belgilashlarni kiritaylik: r=r+r- r r- muhit zichligi, bu yerda va mos ravishda asos (karkas) va suyuqlik s l s l qismiyzichliklari; u(u) va v(v)- mos ravishdaasos (karkas) vasuyuqlik tezliklari; i i w=u-v- nisbiytezlik; p - suyuqlik bosimi; d ,di - Kroneker belgilari; ik j ei- asosning deformatsiyasi reperi; e - qo‘shma reper, (ei,e ) =di ; j j j g =(e ,e )- asosning metrik tenzordeformatsiyasi; ij i j s- solishtirmaentropiya; m-ximikpotensial; E (e )- muhit (g‘ovak asos+g‘ovakdagi suyuqlik) ning bir hajm birligidagi (bir massa 0 0 birligidagi) energiyasi; h - energiyadan g metrik tenzorbo‘yicha olingan hosila; ij ij T -temperatura. Massa, entropiya va impulssaqlanish qonunlarining o‘rinlibo‘lishinitalab qilamiz: +divj=0, +divF =0, (1) i +¶ P =0. ¶t k ik 180 RAQAMLI TRANSFORMATSIYA SHAROITIDA SUN’IY INTELLEKTNI RIVOJLANTIRISH VA ZAMONAVIY MATEMATIKANI O‘QITISH MUAMMOLARI VA YECHIMLARI Bu tenglamalarda: j- hajm birligidagi impuls, F- entropiyaning qaytar oqimi, P - impuls oqimizichligining tenzori–hozircha aniqlanmagan. ik G‘ovak muhitdeformatsiyasi ushbu ¶e a + (u,e a ) = 0, g ab = (e a ,e b ). (2) tenglamalarbilan tavsiflanadi. Farazqilamizki, g‘ovak muhitdagi suyuqlik harakati tenglamasi quyidagi ko‘rinishdabo‘lsin: dv ¶v r =r +(rv, ) v =a m+b T . (3) dt ¶t Bu yerda a va b lar ushbu S,r,gab o‘zgaruvchilarning funksiyalari bo‘lib, ular aniqlanishi kerak. (1)-(3) tenglamalardagi j, F,P qaytar oqimlar tezliklar va termodinamik miqdorlarning ik funksiyasi bo‘lishi mumkin xolos. Bu j, F,P qaytar oqimlarni aniqlash uchun ularning ik qiymatlarini suyuqlik zarrachasi qo‘zg‘almas bo‘lgan koordinatalar sistemasidagi mos qiymatlari bilan bog‘lovchi Galiley almashtirishlaridan foydalanamiz. Quyidagi munosabatlar saqlanish qonunlarini Galiley almashtirishiga nisbatan invariantligini ta’minlaydi: rv2 E = E + +( v,j ) , j= j +rv, F = F + Sv, 0 0 0 0 2 (4) P = P +rvv +v j +v j ; ik 0,ik i k i 0,k k 0,i bu yerda nol-indeks miqdorlarning suyuqlik zarrachasi qo‘zg‘almas bo‘lgan koordinatalar sistemasidagi qiymatlariga mos keladi. Hisoblashlar a=-r, b=-S ekanligini ko‘rsatadi. Saqlanishqonunlari (1)va(2), (3) tenglamalarnatija sifatidaushbu +divQ=0, (5) energiyaning saqlanish qonunining bajarilishini ta’minlaydi. Bu yerda Q - qaytar energiya oqimi bo‘lib, (4) formulalarga asosan quyidagi munosabat o‘rinli bo‘ladi: rv2 v2 Q =Q + +( j , v ) +E v+ j +( P , v ) 0 0 0 0 0 2 2 yoki Q = m+ v2 j+ TS j+u ( u, j ) +h e a ( u,e b ) . 2 r 0 ab Hajm birligidagi impuls j, entropiyaning qaytar oqimi F va impuls oqimi zichligining tenzori P lar uchun quyidagi formulalarni olamiz:[3], [4] ik S j=ru+rv, F = j, s l r P =ruu +rvv + pd +h eaeb. i,k s i k l i k ik ab k i Shunday qilib, ikki tezlikli kontinium uchun elastik deformatsiyani hisobga olib, energiya 181 RAQAMLI TRANSFORMATSIYA SHAROITIDA SUN’IY INTELLEKTNI RIVOJLANTIRISH VA ZAMONAVIY MATEMATIKANI O‘QITISH MUAMMOLARI VA YECHIMLARI dissipatsiyasini esa hisobga olmay to‘la tenglamalar sistemasi (qaytar gidrodinamik yaqinlashish) keltirib chiqarildi: +divj= 0, j=ru+rv, ¶t s l ¶(sr) +div ( sj ) = 0, ( ) i +¶ ruu +rvv + pd +h g =0 (i, k =1,2,3), (6) ¶t k s i k l i k ik ij jk ¶v p r h +( v, ) v = - + s w2 - ik g , ¶t r 2r 2r ik ik + g ¶ u + g ¶ u +u ¶ g =0, ¶t kj i j ij k j j j ik r =const det(g ), s ik e =e (r,s,i ,g ) , j =rw, ri = j , 0 0 0 ik 0 s 0 0 p h de = dr+Tds+(w,di )+ ik dg . 0 r2 0 2r ik Bu yerda e =e (r,s,i ,g )- muhitning holat tenglamasi (u berilgan deb hisoblanadi), 0 0 0 ik s- entropiya, e , e- energiyalar va i - impuls massa birligiga keltirilgan: 0 0 rs=S, re =E , re=E , ri =j . 0 0 0 0 0 Fenomenologik nazariyada e (r,s,i ,g ) holat tenglamasi keltirib chiqarilmaydi, u 0 0 ik muhitning tuzilishiga bog‘liq bo‘ladi va, ma’lum darajada, tajribalarda aniqlanadi. Lekin, e (r,s,i ,g ) funksional munosabatga nisbatan ba’zi farazlar qilib birinchi yaqinlashish 0 0 ik formulasini topish mumkin. Ko‘p hollarda, masalan, tovush to‘lqinlari tarqalishi nazariyasida, yaxshi natijalar beruvchi Guk yaqinlashishidan foydalanib, quyidagi birinchi yaqinlashish formulasi topilgan: [5],[6] l m K e (r,s,i ,g )=const + I2 + I - I (r-r)+T ( s -s )+ 0 0 ik dr 1 4r 2 2r2 1 0 0 0 0 0 0 1 K a r + a + (r-r)2 + 2 ( s -s )2