О процессе признания лица иностранным агентом

Аннотация

В ЭТОЙ РАБОТЕ ПОКАЗАН ДРУГОЙ СПОСОБ ВЫЧИСЛЕНИЯ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ ДВУМЕРНОГО МНОГООБРАЗИЯ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ. КЛЮЧЕВОЙ СЛОВА. СВЯЗНОСТЬ ЛЕВИ-ЧИВИТА, ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС, ГАУССОВАКРИВИЗНА,СЕКЦИОННАЯ КРИВИЗНА ПУСТЬ M -ГЛАДКОЕ РИМАНОВО МНОГООБРАЗИЕ РАЗМЕРНОСТИ n , g - РИМАНОВА МЕТРИКА, T M -КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО В ТОЧКЕ p M , - p СВЯЗНОСТЬ ЛЕВИ-ЧИВИТА, ОПРЕДЕЛЕННАЯ РИМАНОВОЙ МЕТРИКОЙ g . ОБОЗНАЧИМ ЧЕРЕЗ V(M) МНОЖЕСТВО ВСЕХ ГЛАДКИХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ, ОПРЕДЕЛЕННЫХ НА M . ВСЮДУ В РАБОТЕ ГЛАДКОСТЬ ОЗНАЧАЕТ ГЛАДКОСТЬ КЛАССА C . ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ R СВЯЗНОСТИ ЛЕВИ-ЧИВИТА D ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ КАК ОТОБРАЖЕНИЕ R:V(M) V(M) V(M) ®V(M), ПО ФОРМУЛЕ R(X,Y)Z = Z - Z - Z ГДЕ [X,Y] -СКОБКА ЛИ X Y Y X [X,Y] ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ X,Y .ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ R ЯВЛЯЕТСЯТЕНЗОРОМ ТИПА(3,1). ПУСТЬ X , Y -ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ, s-ДВУМЕРНАЯ ПЛОСКОСТЬ, ПОРОЖДЕННАЯ ПАРОЙ X , Y . ПЛОСКОСТИ s СОПОСТАВИМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО K . s ( ) R X,Y Y,X K = , s 2 2 2 X Y - X,Y ГДЕ X,Y -СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ОПРЕДЕЛЕННОЕ РИМАНОВОЙ МЕТРИКОЙ g . ВЕЛИЧИНА K НАЗЫВАЕТСЯ СЕКЦИОННОЙ КРИВИЗНОЙ ПО s 193 RAQAMLI TRANSFORMATSIYA SHAROITIDA SUN’IY INTELLEKTNI RIVOJLANTIRISH VA ZAMONAVIY MATEMATIKANI O‘QITISH MUAMMOLARI VA YECHIMLARI ОТНОШЕНИЮ К ПЛОСКОСТИ ИЛИ КРИВИЗНОЙ В ДВУМЕРНОМ НАПРАВЛЕНИЮs. МНОГООБРАЗИЕ НАЗЫВАЕТСЯ МНОГООБРАЗИЕМ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙКРИВИЗНЫ, ЕСЛИ K 0 ДЛЯ ВСЕХs. s ПУСТЬ f :M ® R ГЛАДКАЯ ФУНКЦИЯ БЕЗ КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК. ТОГДА ДЛЯ КАЖДОГО ЗНАЧЕНИЯ c R ПОЛНЫЙ ПРООБРАЗ N = f -1(c) ЯВЛЯЕТСЯ ПОДМНОГООБРАЗИЕМ РАЗМЕРНОСТИ n-1. ПУСТЬ p N , s T N -ПЛОСКОСТЬ, ДЛЯ КОТОРОГО ВЕКТОРЫ u , v p ЯВЛЯЕТСЯ ОРТОНОРМИРОВАННЫМ БАЗИСОМ. ТОГДА ДЛЯ СЕКЦИОННЫХ % КРИВИЗН k , k СООТВЕТСТВЕННО МНОГООБРАЗИЙ N , M СВЯЗАНЫ s s ФОРМУЛОЙ 1 h (u,u) h (u,v) k = k % + det f f (1) s s ( grad f )2 h (u,v) h (v,v) f f ГДЕ, h (u,v) = Z,v И Z =gradf . f u ГАУССОВА КРИВИЗНА ДВУМЕРНОГО МНОГООБРАЗИЯ СОВПАДАЕТ С СЕКЦИОННОЙ КРИВИЗНОЙ В ДВУМЕРНОМ НАПРАВЛЕНИИ. РАССМОТРИМ ТЕНЗОРНОЕ ПОЛЕ ТИПА (0,1) X ® tZ, ГДЕ X -ВЕКТОРНОЕ X ПОЛЕ, КАСАТЕЛЬНОЕ К МНОГООБРАЗИЮ N = f -1(c) , Z = gradf -ГРАДИЕНТ ВЕКТОР ФУНКЦИИ f , t Z -КАСАТЕЛЬНАЯ КОМПОНЕНТА ВЕКТОРА Z. ЭТО X X ТЕНЗОРНОЕ ПОЛЕ ЗАДАЕТСЯ МАТРИЦЕЙ A , КОТОРАЯ НАЗЫВАЕТСЯ МАТРИЦЕЙ ГЕССИАНАФУНКЦИИ f . ПУСТЬ c(l) - ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПОЛИНОМ МАТРИЦЫ A СО СВОБОДНЫМ ЧЛЕНОМ (-1)ndet A. ОПРЕДЕЛИМ ПОЛИНОМ r(l) ТОЖДЕСТВОМ lr(l) =det A-(-1)nc(l). В СИЛУ ИЗВЕСТНОГО ТОЖДЕСТВА c(A) =0 ИМЕЕМ Ar(A) =det A E. В ЛЮБОМ БАЗИСЕ МАТРИЦА Ac =r(A) ИЗОБРАЖАЕТСЯ МАТРИЦЕЙ, ЭЛЕМЕНТЫ КОТОРОЙ СУТЬ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ К СООТВЕТСТВУЮЩИМ ЭЛЕМЕНТАМ МАТРИЦЫ A . ГАУССОВА КРИВИЗНА ПОДМНОГООБРАЗИЯ N ВЫЧИСЛЯЕТСЯПО ФОРМУЛЕ 1 G = Ac f , f (2) || f ||n+1 ПОСКОЛЬКУ ДЛЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ В R3 ГАУССОВА И СЕКЦИОННАЯ КРИВИЗНЫ СОВПАДАЮТ, ФОРМУЛА (2) ОКАЗЫВАЕТСЯ В ЭТОМ СЛУЧАЕ УДОБНЫМ СРЕДСТВОМ ВЫЧИСЛЕНИЯ СЕКЦИОННОЙ КРИВИЗНЫ. ПРИ ЭТОМ НЕТ НАДОБНОСТИ ЯВНОНАХОДИТЬ КАКИЕ-ЛИБО КАСАТЕЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ. ПРИМЕР. РАССМОТРИМ ПОВЕРХНОСТЬ f (x,y,z) =C, ГДЕ 194 RAQAMLI TRANSFORMATSIYA SHAROITIDA SUN’IY INTELLEKTNI RIVOJLANTIRISH VA ZAMONAVIY MATEMATIKANI O‘QITISH MUAMMOLARI VA YECHIMLARI f (x,y,z) = x2 + y2 - z2 , C - НЕКОТОРОЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ, Z = gradf ={2x,2y,- 2z}. РАССМОТРИМ ВЗАИМНО ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ, X ={-y,x,0}, Y ={xz,yz,x2 + y2} ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ К ГРАДИЕНТУ. ДЛЯ X ВЫЧИСЛЕНИЯ СЕКЦИОННОЙ КРИВИЗНЫ ПО ФОРМУЛЕ (1), ПОЛОГАЯ u = , | X | Y v = ПОЛУЧИМ ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ. УЧИТЫВАЯ СВОЙСТВА КОВАРИАНТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ПОЛУЧАЕМ,ЧТО Y 1 Z, = Z,Y , X X |Y | | X ||Y | 1 h (u,u) = Z,u = AX,X , f u | X |2 1 h (u,v)= Z,v = AX,Y , f u | X ||Y | 1 h (v,v) = Z,v = AY,Y . f v |Y |2 ТЕПЕРЬ НАХОДИМ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ,УЧАСТВУЮЩИЙВ ФОРМУЛЕ(1) h (u,u) h (u,v) 1 AX,X AX,Y det f f = det , h (u,v) h (v,v) | X |2|Y |2 AX,Y AY,Y f f ГДЕ,МАТРИЦА A ГЕССИАНАФУНКЦИИ f . ВНАШЕМ ПРИМЕРЕ МАТРИЦА A ГЕССИАНАФУНКЦИИ f ИМЕЕТ ВИД: 2 0 0 A= 0 2 0 . 0 0 -2 СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ГАУССОВА КРИВИЗНА ЭТОЙ ПОВЕРХНОСТИ РАВНА ПО ФОРМУЛЕ (1)РАВНА -C k = . ( )2 x2 + y2 + z2 ТЕПЕРЬ ВЫЧИСЛИМ ГАУССОВУ КРИВИЗНУ ПОВЕРХНОСТИ x2 + y2 - z2 =C ПО ВТОРОЙ ФОРМУЛЕ. В ЭТОМ СЛУЧАЕ ДОСТАТОЧНО НАЙТИ МАТРИЦУ Ac И ГРАДИЕНТ ВЕКТОР ФУНКЦИИ f .В НАШЕМ СЛУЧАЕ МАТРИЦА Ac ИМЕЕТ ВИД: 195 RAQAMLI TRANSFORMATSIYA SHAROITIDA SUN’IY INTELLEKTNI RIVOJLANTIRISH VA ZAMONAVIY MATEMATIKANI O‘QITISH MUAMMOLARI VA YECHIMLARI -4 0 0 Ac = 0 -4 0 . 0 0 4 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПО ВТОРОЙ ФОРМУЛЕ (2) ДАЕТ ТОТ ЖЕ РЕЗУЛЬТАТ, НО ВЫЧИСЛЕНИЕ ГОРАЗДО УДОБНЕЕ -C k = . ( )2 x2 + y2 + z2