KASR TARTIBLI HOSILALARNING FIZIKAVIY JARAYONLARNI IFODALASHDAGI AFZALLIKLARI

Аннотация

This article explores the mathematical nature of fractional-order derivatives and their advantages in modeling physical processes. Compared to classical differential equations, fractional derivatives can accurately represent inertia, diffusion, and memory effects in various natural and technical systems. The paper also discusses solution methods for fractional differential equations and their applications to real-world systems. Keywords: fractional derivative, physical modeling, differential equation, memory effect, fractional calculus. 8 “JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN UZBEKISTAN” JURNALI VOLUME 03, ISSUE 07, 2025. JULY ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869 KIRISH. Zamonaviy matematik modellashtirishda murakkab fizikaviy jarayonlarni aniq ifodalash zarurati kundan-kunga ortib bormoqda. An’anaviy integer tartibli differensial tenglamalar ko‘plab real tizimlarni modellashtirishda yetarli darajada moslashuvchanlikka ega emas. Chunki ularning yordamida faqat vaqtga yoki makonga bog‘liq bo‘lgan lokal jarayonlar tasvirlanadi, biroq xotira effektlari, anomal diffuziya va tizimlarning tarixga bog‘liqligi kabi nooddiy xususiyatlarni hisobga olish imkoniyati cheklangan bo‘ladi [1]. Shu nuqtayi nazardan, kasr tartibli hosilalar (fraksionar hosilalar) yordamida yaratilgan modellar bunday murakkab holatlarni aniqroq ifodalash imkonini beradi. Kasr tartibli analiz XX asrning ikkinchi yarmidan boshlab sezilarli darajada rivojlandi. Dastlab nazariy yondashuv sifatida ko‘rilgan ushbu soha bugungi kunda fizika, elektrotexnika, biologiya, geofizika, moliya va boshqa ko‘plab fanlar doirasida qo‘llanilmoqda [2]. Masalan, issiqlik tarqalishini tavsiflovchi klassik diffuziya tenglamasi ayrim hollarda haqiqiy tizimlarda kuzatiladigan anomal diffuziya jarayonini ifodalashga ojizlik qiladi. Shu sababli, kasr tartibli hosilalarga asoslangan tenglamalar bunday noaniq va uzoq xotiraga ega bo‘lgan tizimlarni modellashtirishda katta ustunlikka ega [3]. Bundan tashqari, kasr tartibli differensial tenglamalar fizikaviy jarayonlarning xronologik xususiyatlarini, ya’ni vaqt oralig‘ida yig‘ilgan ta’sirlarning joriy holatga ta’sirini hisobga olishga yordam beradi. Bu holat esa, ayniqsa, materiallar mexanikasi, elektr zanjirlar, suyuqliklar harakati, termik va elektrokimyoviy jarayonlarda muhim ahamiyat kasb etadi [4]. Ushbu maqolada kasr tartibli hosilalarning nazariy asoslari, ularning matematik ifodalanishi, fizik modellashtirishdagi afzalliklari, yechim usullari va real tizimlarga qo‘llanilishi chuqur yoritib beriladi. Shuningdek, mavjud ilmiy tadqiqotlar va xalqaro tajribalar asosida ushbu metodologiyaning istiqbollari tahlil qilinadi. ASOSIY QISM. Matematik analizda kasr tartibli hosila (fraksionar hosila) deganda, hosilaning butun bo‘lmagan tartibdagi umumlashtirilgan shakli tushuniladi. Bu tushuncha klassik integral va differensial hisobni umumlashtirish asosida yuzaga kelgan bo‘lib, funksiyaning tarixiy xatti-harakatini, ya’ni xotira effektini inobatga oladi [1]. 9 “JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN UZBEKISTAN” JURNALI VOLUME 03, ISSUE 07, 2025. JULY ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869 1-ta’rif. Faraz qilaylik 𝑓(𝑡) – ijobiy oraliqda aniqlangan uzluksiz funksiya. U holda 𝛼 > 0 bo‘lganda, Riemann–Liouville kasr tartibli integral quyidagicha aniqlanadi: 1 𝑡 𝐼𝛼𝑓(𝑡) = ∫ (𝑡 − 𝜏)𝛼−1𝑓(𝜏)𝑑𝜏, Γ(𝛼) 0 bu yerda Γ(𝛼) – Gamma funksiya. Ushbu integral yordamida kasr tartibli hosila aniqlanadi. Eng ko‘p qo‘llaniladigan ikki usul quyidagilardir: 2-ta’rif. Riemann-Liouville tartibli hosila: 𝐷𝛼 𝑓(𝑡) = 𝑑𝑛 ( 1 ∫ 𝑡 (𝑡 − 𝜏)𝑛−𝛼−1𝑓(𝜏)𝑑𝜏), 𝑛 − 1 < 𝛼 < 𝑛. 𝑅𝐿 𝑑𝑡𝑛 Γ(𝑛−𝛼) 0 3-ta’rif. Kaputo kasr tartibli hosila: 𝐷𝛼𝑓(𝑡) = 1 ∫ 𝑡 (𝑡 − 𝜏)𝑛−𝛼−1𝑓(𝑛)(𝜏)𝑑𝜏, 𝑛 − 1 < 𝛼 < 𝑛. 𝐶 Γ(𝑛−𝛼) 0 Kaputo hosilasi real modellashtirishda ko‘proq qo‘llaniladi, chunki boshlang‘ich shartlar klassik talqindagidek aniqlanadi [2]. Ko‘plab fizik tizimlar, ayniqsa anomal diffuziya, viskoelastiklik, issiqlik tarqalishi, elektr zanjirlar singari jarayonlar kasr tartibli tenglamalar yordamida modellashtiriladi. Kasr tartibli model tizimlarda uzoq xotirani, vaqt bo‘yicha o‘rta chastotali ta’sirlarning to‘planishini, hamda murakkab harakatni hisobga oladi [3]. Quyidagi jadvalda oddiy differensial model va kasr tartibli modelning solishtirma afzalliklari keltirilgan: 1-jadval Klassik va kasr tartibli modellar taqqoslanishi. Klassik (integer Parametr / Model Kasr tartibli tartibli) Inobatga Xotira effekti Inobatga olinadi olinmaydi Moslashuvchanlik Cheklangan Yuqori Fizikaviy aniqlik Taxminiy Aniq Amaliy qo‘llanish Oddiy tizimlar Murakkab, inertsiya bilan tizimlar doirasi Ehtiyotkorlik va Ancha murakkab, ammo to‘g‘ri Oson boshqariladi barqarorlik yo‘naltirilsa yuqori aniqlik beradi 10 “JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN UZBEKISTAN” JURNALI VOLUME 03, ISSUE 07, 2025. JULY ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869 1-teorema. Agar 𝑓(𝑡) − 𝑡 ∈ [0,𝑇] oraliqda yetarlicha silliq bo‘lsa, u holda Kaputo hosilasi Laplas transformatsiyasi ostida qu