MONJ TEOREMASINING FAZOVIY SHAKLLAR YORDAMIDAGI ISBOTI

Аннотация

В данной статье мы докажем теорему Монжа о том, что три точки пересечения попарно проведенных касательных к трем окружностям на плоскости лежат на одной прямой, используя пространственные фигуры, и обобщим этот результат для любых трех внешних гомотетических фигур. Ключевые слова: Центр гомотетии, плоскость, шар, конус, прямая линия. Annotation: In this article, we prove Monge's theorem, which states that the three intersection points of tangents drawn pairwise to three circles in a plane lie on a straight line, using three dimensional space. We then generalize this result for any three externally homothetic figures. Keywords: center of homotety, plane, sphere, cone, straight line. Quyida keltiriladigan fransuz matematigi Gaspard Monj nomiga atalgan Monj teoremasi olimpiadachilarga yaxshi tanish bo‘lib maktab o‘quvchilari orasidagi ko‘pgina xalqaro olimpiada masalalarini yechishda qo‘llanilib kelinadi. Teorema (Monj teoremasi). Tekislikda radiuslari o‘zaro farqli hamda biri boshqasining ichida to‘liq joylashmaydigan , ,  aylanalar berilgan bo‘lib, P 1 2 3 1 nuqta  va  , P nuqta  va  , P nuqta esa  va  aylanalarning tashqi 2 3 2 1 3 3 1 2 urinmalari kesishgan nuqtalar deylik. U holda P , P va P nuqtalar bitta to‘g‘ri 1 2 3 chiziqda yotadi. 36 “JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN UZBEKISTAN” JURNALI VOLUME 03, ISSUE 07, 2025. JULY ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869 1-rasm Isbot. Bu teoremaning bir qancha isbotlari mavjud bo‘lib, ulardan ba’zilari qo‘shimcha teoremalarda, masalan Menelay yoki Dezarg teoremalaridan foydalanishni talab qiladi. Lekin ushbu masalaning fazodagi analogini qarasak, Monj teoremasi nuqta va tekisliklarning oddiy xossalaridan kelib chiqadigan natija bo‘lib qoladi! Teorema isbotiga ikki xil usulda yondashamiz: sharlar yordamida va konuslar yordamida. Birinchi yondashuv. , ,  aylanalarni mos ravishda S , S , S 1 2 3 1 2 3 sferalarning ekvator aylanasi sifatida qaraylik. U holda P , P , P nuqtalar mos 1 2 3 ravishda S va S , S va S , S va S sferalarga o‘tkazilgan tashqi urinmalarning ham 2 3 1 3 1 2 kesishish nuqtasi bo‘lib qoladi. Haqiqatdan ham, ma’lumki radiuslari turli bo‘lgan ikki sferaning barcha tashqi urinmalari to‘plami konus hosil qiladi. Bu konusning uchi sferalar uchun tashqi gomotetiya markazi (o‘xshashlik markazi) bo‘lgani uchun, bir tekislikda yotuvchi ekvator aylanalarining tashqi urinmalari konusning yasovchilari bo‘ladi. Demak bu yasovchilar kesishadigan P , P , P nuqtalar jufti- 1 2 3 jufti bilan olingan sferalarning tashqi o‘xshashlik markazlari ham bo‘ladi. 37 “JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN UZBEKISTAN” JURNALI VOLUME 03, ISSUE 07, 2025. JULY ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869 2-rasm Demak, quyidagicha xulosa qilsak bo‘ladi. Fazoda berilgan uchta sferadan jufti-jufti bilan olinib tashqi urinma konuslari o‘tkazilsa, bu konuslarning uchlari bir to‘g‘ri chiziqda yotishini ko‘rsatsak, bu sferalar va urinmalarni sferalarning ularning markazlaridan o‘tuvchi tekislikdagi qismini qarash natijasida Monj teoremasi kelib chiqadi. Keling, ushbu sferalar yordamidagi yondashuvda, uchta sferaga ham urinuvchi tekislik mavjud bo‘lsin deb qaraylik. Ravshanki bu holda teoremani biroz xususiy holda isbotlagan bo‘lamiz, lekin bu albatta isbotni keyinchalik konuslar yordamida to‘ldirib ketamiz. Berilgan S , S va S sferalarning uchalasiga ham urinuvchi  tekislik 1 2 3 o‘tkazamiz. Bu  tekislik bir vaqtda S va S sferaga uringani uchun, S va S ga 1 2 1 2 tashqi urinuvchi konusga ham yasovchisi bo‘ylab urinadi. Bundan bu konusning uchi, ya’ni S va S sferalarning o‘xshashlik markazi P nuqtaning  tekislikka 1 2 3 tegishli bo‘lishi kelib chiqadi. Ayni paytda esa P nuqta ,  ,  aylanalar 3 1 2 3 yotgan tekislikda ham yotgani uchun, u  va berilgan aylanalar yotgan tekislik kesishmasiga ham tegishli bo‘ladi. Xuddi shu mulohazani S , S va S , S sferalar 1 3 2 3 uchun ham yuritib, P va P nuqtalar ham yuqoridagi ikkita tekislik kesishmasida 2 1 yotishini bilib olamiz. Stereometriya kursidan ma’lumki parallel bo‘lmagan ikkita tekisli to‘g‘ri chiziq bo‘ylab kesishadi. , ,  aylanalarning radiuslari turlicha 1 2 3 bo‘lgani uchun  tekislik ular yotgan tekislikka parallel bo‘la olmaydi. Demak P , 1 P va P nuqtalar ushbu ikkita tekislik kesishmasi bo‘lgan to‘g‘ri chiziqda 2 3 joylashar ekan. 38 “JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN UZBEKISTAN” JURNALI VOLUME 03, ISSUE 07, 2025. JULY ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869 Yuqorida aytganimizdek S , S , S sferalar umumiy urinmaga ega bo‘lsin deb, 1 2 3 isbotni biroz xususiy hol uchun berdik. Aslida bu uchta sfera umumiy urinmaga ega bo‘la olmagan holda ham Monj teoremasi o‘rinli bo‘ladi 3-rasm Masalan 3-rasmdagidek sferalarning uchalasiga ham urinadigan tekislik o‘tkazzib bo‘lmaydi, lekin , ,  aylanalar uchun Monj teoremasi o‘rinli. 1 2 3 Aylananing fazodagi analogi sfera bo‘lganligi uchun dastlab birinchi yondashuv xayolga kelishi ta’biiy edi. Lekin ko‘rdikki, sferal