KARRALI ILDIZLAR UCHUN NYUTON METODI.

Аннотация

Метод Ньютона-Рафсона обычно используется для нахождения корней функции с одной переменной. Однако в некоторых случаях корни функции могут быть кратными (повторяющимися). При использовании метода Ньютона для кратных корней необходимо учитывать кратность корня (то есть, сколько раз корень повторяется), поскольку в этом случае поведение функции и её производных отличается от обычного случая. Основное отличие метода Ньютона для кратных корней заключается в изменении формулы для вычисления корня с учётом кратности корня. Конкретно, функция и её производная изменяются в зависимости от кратности корня. Kalit so’zlar: Nyuton-Rafson Metodi,Karrali ildizlar,Funktsiya ildizi,Ko‘p karra ildiz,Hosila Keywords: Newton-Raphson method,Multiple roots,Root of a function,Multiple (repeated) root,Derivative Ключевие слова: Метод Ньютона-Рафсона,Кратные корни,Корень функции,Множественный (повторяющийся) корень,Производная Dastlabki tushunchalar. Ushbu f (x) = 0 (1) chiziqli bo’lmagan tenglamaning ildizi (ildizlarini) topish talab etiladi. https://scientific-jl.org/obr 4 5 2 Выпуск журнала №-69 Часть–4_ Мая –2025 ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ 2181-3187 Agar https://scientific-jl.org/obr 4 5 3 Выпуск журнала №-69 Часть–4_ Мая –2025 f ( x ) funksiya ko’phad bo’lsa, u holda (1) tenglama n-darajali algebraik tenglama deb ataladi, ya’ni f ( x ) = P ( x ) = a 0 x n + a 1 x n − 1 + . . . + a n − 1 x + a n = 0 (2) a ,a ,a ,...,a ,a bunda berilgan berilgan P(x) ko’phadning 0 1 2 n−1 n koeffisiyentlari. Nyuton teoremasi. Agar x = c  0 uchun f ( x ) ko’phad va unung barcha hosilalari nomanfiy bo’lsa, ya’ni f  ( x ) , f  ( x ) , . . . f n ( x ) u holda R = c ni (2) tenglamaning musbat ildizlari uchun yuqori chegara deb hisoblash mumkin. Isbot: Teylor formulasiga ko’ra f ( x ) = f ( c ) + f  ( c ) ( c − x ) + . . . + f n n ( ! c ) ( x − c ) n Teorema shartiga ko’ra x  c bolganda bu tenglikning o’ng tomoni musbatdir. Demak, (2) tenglamalarning barcha x + x+ R musbat ildizlari Tengsizlikni qanoatlantiradi. Bu teoremalar faqat musbat ildizlarning yuqori chegarasini aniqlaydi. Quyidagi f (x) = (−1) f (−x) = a xn −a xn−1 + a xn−2 −...+(−1)na 1 0 1 2 n ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ 2181-3187 https://scientific-jl.org/obr 4 5 4 Выпуск журнала №-69 Часть–4_ Мая –2025 f 2 ( x ) = x n f x = a n x n + a n − 1 x n − 1 + . . . + a 1 x + a 0 f 3 ( x ) = ( − x ) n f 1 x = a n x n − a n − 1 x n − 1 + . . . + ( − 1 ) n a 0 f (x), f (x), f (x), f (x) Ko’phadlarga yuqoridagi teoremalarni qo’llab, lar 1 2 3 musbat ildizlarning yuqori chegaralari R 0 , R 1 , R 2 , R 3 larni mos ravishda topgan bo’lsak, u vaqtda (2) tenglamaning hamma x+ musbat ildizlari v R 1 2  x +  R hamma x − 1 −R  x−  − manfiy ildizlari esa 1 R 3 tengsizlikni qanoatlantirar ekan. Nyuton metodi Tenglamalarni yechish metodlari orasida eng dastlabkilaridan biridir. Shuning uchun ham yaqinlashish tezligini ortirish yoki hisoblashlarni soddalashtirish maqsadida bu metodni o’zgartirish yo’lida juda ko’p urinishlar bo’lgan. Shularning ayrimlariga to’htalib o’tamiz . Shu vaqtgacha x n ketma-ket yaqinlashishlar yotgan oraliqda f  ( x )  0 deb faraz qilingan edi, bundan tashqari f ( ) 0    yani  tub ildiz p bo’lgan xol karrali edi. 1870-yilda E.Shredir ildiz - karrali bo’lgan holni tekshirib chiqdi. Biz hozir anashu hilni ko’rib chiqamiz . Biz avval p 1bo’lganda Nyuton ketma-ketligikerakli ravishda o’zgartirilganda uning tez yaqinlashishini ko’rsatamiz .  yechim f ( x ) p  ning -karrali ildizi bo’lgani uchun , yechim atrofidagi f ( x ) ning Teylor qatoridagi yoyilmasi quyidagicha bo’ladi: ( ) ( )p ( )p+1 ( )m ( ) f x = C x − +C x − +...+C x − + R x p p+1 m m ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ 2181-3187 https://scientific-jl.org/obr 4 5 5 Выпуск журнала №-69 Часть–4_ Мая –2025 C k f ( k ) k ( ! ) = ( k = p , p + 1 , . . . , m ) (6.28) Faraz qilaylik, x n  lar ga yaqin bo’lsin, u holda n x n   = − kichik miqdor bo’ladi.Nyuton qoydasidan bilan orasidagi munosabatni n n+1 chiqaramiz: ( ) n  = + n+1 n ( ) (6.29) n (6.28) yoyilmada faqat ikkita bosh hadlarni saqlab, quyidagilarni hosil qilamiz: f ( − ) = ( −1 )p C p −C p+1 +... n p n p−1 n f ( n ) ( 1 ) p 1 p C p pn 1 ( p 1 ) C p 1 pn . . .      − = − −  − − + + f ( 1 n ) ( p C 1 p ) p pn 1 1 1 ( p p C 1 p ) C p 1 pn . . .  = + + + f f ( ( n n ) ) p n 1 C C p p 1 n p . . . = − + + + Oxirgi tenglikka olib borib (6.29) qo’yamiz: ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ 2181-3187 https://scientific-jl.org/obr 4 5 6 Выпуск журнала №-69 Часть–4_ Мая –2025 n 1 1 1 p n C p 2 p C 1 p 2n . . .    + = − + + Bunda faqat bitta bosh hadini qoldirib,quyidagi taqribiy tenglikka ega bolamiz: n 1 1 1 p n + = Bu tenglik shuni ko’rsatadiki n 1  taqriban mahraji q =1− ga teng bo’lgan p geometrik progressiya bo’yicha kamayadi. Buni f ( ) 0    bo’lgan hol bilan solishtirib ko’rsak, p 1 bo’lganda yaqinlashish tezligini sustlashishini ko’ramiz. Haqiqatan ham, 0 = f (  ) = f ( − )