ЗАДАЧА СТЕФАНА ДЛЯ СИСТЕМЫ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Аннотация

This paper considers the Stefan-type problem for a system of quasi-linear parabolic equations, which arises in a model of wound healing. Nonlinear problems with free boundaries are studied using a method based on constructing a priori estimates. Therefore, some initial a priori estimates for the solution to the problem under consideration are first established. Then, the problem is reduced to a fixed-boundary problem through a change of variables. The resulting problem has time- and space-dependent coefficients with nonlinear terms. Next, Schauder-type a priori estimates are constructed for the equation with nonlinear terms and a fixed boundary. Based on these estimates, the uniqueness of the solution to the problem is proven. Then, the global existence of the solution to the problem is demonstrated using the Leray-Schauder fixed- point theorem. Key words: quasilinear parabolic equation, a free boundary, a priori estimates, existence and uniqueness theorem. 1.Введение. Модели в математической биологии направлены на объяснение биологических процессов, а затем служат инструментом для продвижения новых исследований в области биологии. Когда предсказания математической модели согласуются сэкспериментальными данными, модель может быть использована для проведения экспериментов и для выдвижения новых гипотез. Тем неменее,биологические процессы,как правило,чрезвычайно сложны[1-4]. В этой работе мы рассматриваем систему из двух квазилинейных параболических уравнений реакции-диффузии с свободной границей, которая возникает в модели заживления ран. Хронические раны представляют собой серьезную проблему общественного здравоохранения во всем мире. Основным осложняющим фактором в www.wordlyknowledge.uz ILMIYMETODIK JURNAL JOURNAL OFIQRO –ЖУРНАЛ ИҚРО –IQRO JURNALI –volume 16,issue01,2025 ISSN:2181-4341, IMPACT FACTOR( RESEARCH BIB )–7,245,SJIF–5,431 заживлении ран является ишемия, то есть недостаточное поступление кислорода в область раны, что является результатом повреждения сосудистой системы вокруг раны. Существует несколько математических моделей заживления ран, в которых учитывается эффект кислородной недостаточности [2]. Здесь мы вводим и обобщаем модель, предложенную в [1], которая включает в себя динамику границы раны как свободной границы. ( ) ( ) ( ) Постановка задачи. Требуется найти функции s t , u t,x , v t,x , удовлетворяющие условиям u = ( a ( u,v ) u ) + f ( u,v ) , D = {( t,x ) :0 0, a , i =1,2; i i0 i0 ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) b) если 0 u t,x M u , f 0,0 , 0 v t,x M v , f 0,0 1 0 1 2 0 2 www.wordlyknowledge.uz ILMIYMETODIK JURNAL JOURNAL OFIQRO –ЖУРНАЛ ИҚРО –IQRO JURNALI –volume 16,issue01,2025 ISSN:2181-4341, IMPACT FACTOR( RESEARCH BIB )–7,245,SJIF–5,431 (эти неравенства будут установлены для точных M , M в теореме 1), то определим 1 2 множество W = {( u,v ) :0 u ( t,x ) M ,0 v ( t,x ) M } , причем 0 0,если u ( t,x ) 0, 1 1 ( ) ( ) ( ) f u,v 0,если u t,x M при любом v t,x ; 1 1 d) f ( u,v ) C1+a(W), f ( u,v ) 0,если v ( t,x ) 0, 2 2 ( ) ( ) ( ) f u,v 0,если v t,x M при любом u t,x ; 2 2 e) u ( x ) C2+a, 0<u ( x )< M , 0 x s , 0 0 1 0 u ( 0 )=0, u ( s ) =0, u ( s )<0, 0 0 0 0 0 v ( x ) C2+a[ 0,l ] , 0 v ( x ) M , v' ( 0 ) =0, v' ( l ) =0. 0 0 2 0 0 Задача (1)-(10) поставлена в работе [1] и изучена в [2] в виде задача со свободной ( ) границей вслучае a u,v 1. 2 2.Априорныеоценки. В этом разделе установим некоторые априорные оценки шаудеровского типа, которые будут использованы при доказательстве глобальной разрешимости задачи. При этом широкоприменяется принципмаксимума и теоремы сравнений. ( ) ( ) ( ) Теорема 1. Пусть функции s t , u t,x , v t,x являются решением задачи (1)-(10). Тогда существуют положительные постоянные M , M , не зависящие от T , для которых 1 2 справедливы оценки ( ) ( ( )) ( ) 0 u t,x M u , f 0,0 , t,x D, (11) 1 0 1 ( ) ( ( )) ( ) 0 v t,x M v , f 0,0 , t,x Q, (12) 2 0 2 0< s ( t ) , 0 t T. (13) ( ) Верхняя оценка для s t устанавливается при помощи оценок для u , v , которые x x будут построеныв следующих теоремах. Теперь для каждого уравнениясистемы отдельно сформулируем соответствующую задачу: www.wordlyknowledge.uz IL