ОБЛАСТЬ СЕПАРАТНО-ГАРМОНИЧНОСТИ

Аннотация

The paper considers the concept of separate harmonicity of functions of several variables with respect to disjoint groups of variables. The separate harmonicity hulls for domains are studied. In particular, it is proven that a domain possessing barrier functions on a dense subset of the boundary is a domain of separate harmonicity. Keywords: Harmonic function, separately harmonic function, separate harmonicity hull, barrier, domain of separate harmonicity. 1. Введение Известно, что для любой плоской области 27 D  существует функция, голоморфная в D и не продолжаемая аналитически за пределы этой области, т.е. всякая плоская область, является областью голоморфности. В отличие от этого, в пространстве n , n  1 , существуют области, из которых любая голоморфная функция аналитически продолжается в более широкую область. Например, не односвязная область z n :1 z 2 является примером для таких областей (см.[1, стр.148, теорема Осгуда-Брауна]). Значить, в пространстве n, n  1 , всякая область не является областью голоморфности, т.е. класс голоморфных функций многих комплексных переменных обладает эффектом принудительного аналитического продолжения (см.[1, стр.153]). SCIENCE AND INNOVATION IN THE EDUCATION SYSTEM International scientific-online conference Оказывается, класс сепаратно-гармонических функций также обладает свойством принудительного аналитического продолжении. В этой работе мы изучаем областей сепаратно-гармоничности. 2. Cепаратно-гармонические функции Пусть x n, y m, n  m DG — область, DE и G F— некоторые подмножества. Предположим, что функция u(x,y), первоначально определенная на множестве 28 E  F , обладает следующими свойствами: а) для любого фиксированного x 0  E функция u ( x 0 , y ) гармонически продолжается в G ; б) для любого фиксированного y0F функция u(x,y0) гармонически продолжается в D . В таком случае указанные продолжения u(x,y) определяют некоторую функцию на множестве X   E  G   D  F  , которая называется cепаратно-гармонической функцией на X . В случае когда E  D и F  G , функция u ( x , y ) называется cепаратно- гармонической в области X  D  G , т. е. гармонической по группам переменных в отдельности. Множество X , вообще говоря, не является областью. Для произвольной области, которая непредставима в виде произведения двух областей, cепаратно-гармоническая функция определяется следующим образом: если функция u(x,y) определена в области  n(x) m(y), n , m  1 , и обладает следующими свойствами: 1) для любого x0:  x x0 , функция u ( x 0 , y ) гармоническая по переменному y на сечении x 2) для любого y 0 :  y  y 0     , функция u ( x , y 0 ) гармоническая по переменному x на сечении y , то она называется cепаратно- гармонической функцией в области . Выше определенный класс сепаратно-гармонических функций обозначаем через h () (h (X)). nm nm Известная теорема Хартогса (см. [1]) утверждает, что если функция f(z,w) голоморфна в области D  n по z при фиксированном w и SCIENCE AND INNOVATION IN THE EDUCATION SYSTEM International scientific-online conference голоморфна в области 29 G  m по w при фиксированном z, то она голоморфна в D  G  n ( z )  m ( w ) по совокупности переменных. В 1961 году П. Лелон [2] доказал следующий аналог этой теоремы для cепаратно-гармонических функций: если функция u(x,y) cепаратно- гармоническая в области D  G  n ( x )  m ( y ) , то функция u ( x , y ) гармонична в D  G по совокупности переменных. Рассмотрим теперь следующую общую задачу: пусть E  D  n , F G  m и u ( x , y ) cепаратно-гармоническая в множестве X E G DF. Требуется описать область гармоничности функции u(x,y). Данная задача была изучена в работах [3], [4], [6], [8], [9]. В 1982 году А. Зеряхи [4] получил следующий результат: пусть D  G —область пространства 2 ( x )  2 ( y ) и E  D , F  G —компактные множества, удовлетворяющие условиям H -регулярности в классах гармонических полиномов. Тогда любая cепаратно-гармоническая на множестве X E G DF функция гармонически продолжается в область X  ( x , y ) D G : *s h ( x , E , D ) *s h ( y , F G, ) 1         . Обычно, для продолжения гармонических функций сначала переходят к голоморфным функциям и потом используют принципы голоморфных продолжений. Следующий результат играет основополагающую роль в изучении продолжения гармонических функций. Предложение 1 (см.[6]). Рассмотрим пространство n(x), вложенное в n(z) n(x)i n(y), где z   z 1 , . . . , z n  , z x iy , j j j j  1 , . . . , n , и пусть D некоторая ограниченная область из n(x). Тогда существует область D  n(z) такая, что DD и для любой функции u ( x )  h ( D ) существует голоморфная в области D функция f u ( z ) такая, что f u. Кроме того, u D для любого числа M 1 существует подобласть D M  D , D  D M , такая, что f M u , uh(D) L(D) (здесь u sup  u(x) :xD  ). u DM D D Теорема 1 ([6]). Пусть E D  n и F G  m—компактные множества, не являющиеся плюриполярными в смысле подмножеств SCIENCE AND INNOV