Об оптимальной интерполяционной формуле на классах дифференцируемых функциях

Аннотация

Одной из основных проблем вычислительной математики являются оптимизации вычислительных методов в функциональных пространствах. Оптимизация вычислительных методов хорошо демонстрируются в задачах теории интерполяционных формул. Классический метод его решения состоит в построении интерполяционного полинома. Однако известно, что полиномиальная аппроксимация непрактична для аппроксимации функций с конечной и малой гладкостью, что часто встречается в приложениях. Поэтому на практике для аппроксимации функций используются сплайны. В теории сплайнов существуют алгебраический и вариационный подходы. В алгебраическом подходе сплайны рассматриваются как некоторые гладкие кусочно-полиномиальные функции. В вариационном подходе сплайны понимаются как элементы гильбертова или банахова пространства, минимизирующие определенные функционалы. Затем изучаются проблемы существования, единственности и сходимости сплайнов и алгоритмы их построения на основе собственных свойств сплайнов. В настоящей работе с помощью метода Соболева решена первая часть задачи, т.е. найдено явное выражение квадрата нормы функционала погрешности и получена система линейных алгебраических уравнений для коэффициентов оптимальной интерполяционной формулы.