СВОЙСТВА ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ПОТЕНЦИАЛОВ

Аннотация

In this paper, we discuss issues related to the properties of differentiability of logarithmic potentials and an analogue of the Kishi’s theorem for logarithmic potential is studied. It is also proved that under some sufficient conditions imposed on the Lebesgue measure , the logarithmic potential U(x) belongs to the class Ck(E) . l Keywords: Riesz potential, logarithmic potential, differentiability of potentials, Cartan’s theorem, Kishi’s theorem, Luzin’s theorem on the continuity of capacities, class Ck(E) . 1.Введение n Рассмотрим следующего логарифмического потенциала в пространстве U(x)=ln x− yd(y), x n, l где −конечная борелевская мера с компактным носителем S  n . 178 ResearchBib IF - 11.01, ISSN: 3030-3753, Volume 2 Issue 7 В работе Картана [1] (см. также [2, стр. 231]) доказана следующая аналог C −свойства Лузина (см.[3, стр. 309] ) для потенциалов Рисса: d(y) U (x)=  , x n,0 pn. n−p n x− y Теорема 1 (Картан). Для любого 0 существует открытое множество O  n с ёмкостью C (O ) такое, что потенциал U (x) является непрерывной в дополнении n−р  n−р n\O . В работе [4] М.Киши доказал теорему Картана в случае более общего потенциала U(x)=K(x,y)d(y), x n. K Здесь, также мера  с компактным носителем и ядро K(x,y), (x,y) n  n , обладает следующими свойствами: 1) K(x,y)− положительнозначная поли непрерывная снизу функция такое, что K(x,x)=+, x n и непрерывная в ( n n)\  (x,x),x n  , 2) K(x,y)−симметрическая, т.е. K(x,y)=K(y,x). Согласно условию 2) всегда выполняется закон взаимности: для любых меры  и  с компактными носителями верна K K Теорема 2 (Киши). Для любого 0 существует открытое множество O  n с ёмкостью C (O ) такое, что потенциал U(x) является  K  K непрерывной в дополнении n\O . Заметим, что в частности потенциал U(x) может быть потенциалом Рисса или K логарифмическим потенциалом с ядром 2R K(x,y)=ln , (x,y)B(0,R)B(0,R), x− y где B(0,R)= x n : x  R (см. например. [2],[4]). В дальнейшем нам понадобится следующая лемма. Лемма 1. ([15, стр.160]). Для любого 0 существует открытое множество O  n с мерой Лебега m(O ) такое, что а) семейство функций (T )(x) сходится равномерно к (T)(x) при →0 на множестве n \O . б) семейства функций ( B(x,t)) m ( B(x,t)) сходится равномерно к (x) при t →0 на множестве n \O . 179 ResearchBib IF - 11.01, ISSN: 3030-3753, Volume 2 Issue 7 Лемма 2. ([14, 171]). Пусть − конечная борелевская мера в n и (t)=(B(0,t))−мера открытого шара B(0,t) n.Тогда для любой гладкой в интервале (0,+) функции (t) и для любых чисел a,b, 0ab+, имеет место следующее соотношение, связывающее интеграл Лебега с интегралом Стилтьеса:  (x)d(x)=  (t)d(t). axb [a,b] 2. THE MAIN THEOREM OF THE PRESENT PAPER ISH THE FOLLOWING В работах [5],[7],[8],[9] изучена дифференциальные свойства потенциалов Рисса и Бесова. В этой работе мы изучаем Ck − свойства Лузина для логарифмических потенциалов. Теорема 3. Для любого 0 существует открытое множество O  n с Лебегова меры m(O ) такое, что логарифмический потенциал U(x)  l принадлежит классу Cn( n\O ). 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3 Доказательство теоремы 3. Нам достаточно доказать, что следующий логарифмический потенциал u(x)=ln x− y d(y), x n, для конечной борелевской меры , сосредоточенной в единичном шаре B= x n : x 1 , supp B, принадлежит классу Cn(B\O ), где O некоторое открытое множество с мерой Лебега m(O ). supp Ясно, что вне носителя этот потенциал является бесконечно дифференцируемым. Поэтому дифференцируемость потенциала u(x) достаточно изучать в окрестности supp, скажем в B = B(0,1). Сначала формально определим множество O . Фиксируем точку xB, где существует плотность (x) и рассмотрим заряд d =d(y)−(x)(y)dy, r 1, где B(0,r)=  yRn : y r  и x r 1 yB(0,r) (y)= r 0 yB(0,r). Заряд d (y) (в общем случае неположительный) обладает тем свойством, что его x плотность в точке x равна нулю. Существует две меры + и − такие, что  =+ −− x x x x x и supp+ supp− = (см. [2]). Обозначим x x 180 ResearchBib IF - 11.01, ISSN: 3030-3753, Volume 2 Issue 7 V(B(x,t)) =  d (y), x B(x,t) где d (y) = d+(y)+d−(y). Для любого 0 в качестве O  B берём x x x  открытое множество с мерой Лебега m(O ) такое, что 1) (x)C(B\O ); U(x) 2) l C(B \O ), =n. Здесь частные производные понимаются в смысле предела (2). Для некоторой монотонно неубывающей функции (t)0, t(0,+)(t)→0 при t →0 имеют место следующие неравенства: 3) V(B(x,t))(t)tn, xB \O , где v −объём единичного шара. n  ln x− y d(y) (t), xB \O . 4) x  x−yt В самом деле, существование множества O удовлетворяющего условии 1) и 2) вытекает из того, что плотность борелевской меры и частные производные потенциала являются измеримыми функциями и значит согласно теоремы ( C − свойство) Лузина непрерывны вне множества малой меры Лебега. Условия 3) и 4) выполняются в силу леммы 1. В качестве u()(x), 0  n определенных на компакте B \O (см. определение класса Ck ), мы будем брать частные про