CHEBISHOV INTERPOLATSIYASI ASOSIDA AVTOBUS QATNOVIDAGI YO’LOVCHILAR SONINI MODELLASHTIRISH

Аннотация

(O‘zbek tilida):Ushbu maqolada Chebishov interpolatsiya usuli yordamida avtobus qatnovi vaqtida yo‘lovchilar sonini bashorat qilish masalasi ko‘rib chiqiladi. Masala hayotiy holat asosida – soat 7:00 dan 9:00 gacha bo‘lgan vaqtda avtobus bekatida yo‘lovchilar sonining o‘zgarishi misolida ishlab chiqilgan. Chebishov ko‘paytmalari, ularning xossalari va interpolatsion polinom tuzish bosqichlari batafsil tahlil qilinadi. Yakuniy natija sifatida yo‘lovchilar sonini vaqtga bog‘lab hisoblovchi analitik formula hosil qilinadi. Bundan tashqari, modelni Python dasturlash tilida amaliy tarzda qo‘llash imkoniyati ham ko‘rib chiqilgan. Mazkur tadqiqot sonli usullar fanini real hayotiy muammolar bilan bog‘lash orqali talabalarda mavzuga nisbatan qiziqish uyg‘otishni maqsad qiladi. Annotation (In English):This article explores the application of the Chebyshev interpolation method to estimate the number of passengers during bus schedules. The problem is modeled using a real-life scenario where passenger counts vary between 7:00 AM and 9:00 AM. The study provides a detailed breakdown of Chebyshev polynomials, their properties, and the step-by-step construction of the interpolation polynomial. As a result, an analytical formula is derived to predict passenger numbers based on time. Additionally, a practical implementation of the model using Python programming is presented. This research aims to increase student engagement by connecting numerical methods with real-world problems. Выпуск журнала №-26 Часть–5_ Май –2025 277 MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT Kalit so‘zlar. Chebishov interpolatsiyasi, sonli usullar, Chebyshev polynomial, interpolatsion polinom, avtobus qatnovi masalasi, normallashtirilgan vaqt, yo‘lovchilar soni modeli, universitet uchun amaliy masala, chebishov koeffitsiyentlari, t₀(x) dan t₄(x) gacha, Chebishov interpolatsiyasi amalda, vaqtga bog‘liq yo‘lovchi soni, sonli yechimlar, tashish jarayonlarini modellashtirish, amaliy matematika, talabalar uchun sonli usullar, chebyshev method in transportation, transportda interpolatsiya, vaqt bo‘yicha funksiya qurish Keywords: Chebishov interpolatsiyasi, sonli usullar, Chebyshev polynomial, interpolatsion polinom, avtobus qatnovi masalasi, normallashtirilgan vaqt, yo‘lovchilar soni modeli, universitet uchun amaliy masala, chebishov koeffitsiyentlari, t₀(x) dan t₄(x) gacha, Chebishov interpolatsiyasi amalda, vaqtga bog‘liq yo‘lovchi soni, sonli yechimlar, tashish jarayonlarini modellashtirish, amaliy matematika, talabalar uchun sonli usullar, chebyshev method in transportation, transportda interpolatsiya, vaqt bo‘yicha funksiya qurish Kirish.Sonli usullar fanida Chebishov metodlari interpolatsiya, aproksimatsiya va integrallash kabi ko‘plab masalalarda qo‘llaniladi. Ular ayniqsa aniqlik va barqarorlik talab etiladigan hollarda muhim rol o‘ynaydi. Bu maqolada Chebishov ko‘paytmalari, ularning xossalari, Chebishov interpolatsiyasi va uning amaliy qo‘llanilishi haqida keng ma'lumot beriladi. 1. Chebishov ko‘paytmalari va ularning xossalari Chebishov ko‘paytmalari — bu ortogonal polinomlar bo‘lib, ular ko‘plab analitik va sonli usullarda keng qo‘llaniladi. I tur Chebishov ko‘paytmalari quyidagicha aniqlanadi: T (x)cos(arccos(x)),x[1,1],n 0,1,2,3,4 n Bu polinomlar rekursiv tarzda ham aniqlanishi mumkin: Выпуск журнала №-26 Часть–5_ Май –2025 278 T 0 ( x )  1 , T 1 ( x )  x , T n  1 ( x )  2 x T n ( x )  T n  1 ( x ) , Xossalari: 1 Ortogonallik: Chebishov polinomlari [1,1] oraliqda og‘irliq funksiyasi 1x2 ostida ortogonal. MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT Ekstremal xossasi: Выпуск журнала №-26 Часть–5_ Май –2025 279 T n ( x ) polinomi maksimum darajada tekis taqsimlangan ekstremal qiymatlarga ega. Nol nuqtalari: T (x) polinomining nol nuqtalari Chebishov tugunlari deb n nomlanadi va interpolatsiyada ishlatiladi 2. Chebishov interpolatsiyasi Interpolatsiya — bu berilgan nuqtalar bo‘yicha funksiyani yaqinlashtirish jarayoni. Chebishov interpolatsiyasi klassik interpolatsiyaga nisbatan kamroq osilishga (Runge effekti) ega. Interpolatsion polinom quyidagicha tuziladi: P n ( x )  k n  0 a k T k ( x ) a k 2 n n  1 0 f ( x i )T ( x i ) a 0 1 n n  1 0 f ( x i )T k ( x i ) 3. Amaliy qo‘llanish: Avtobus qatnovi misolida Masalan, ertalabki avtobus qatnoviga oid vaqt va yo‘lovchilar soni ma’lum bo‘lsa, Chebishov interpolatsiyasi yordamida har qanday oraliq vaqtda yo‘lovchilar sonini taxmin qilish mumkin. Bunda vaqtlar [1 ,  1 ] oraliqqa moslab o‘zgartiriladi va Chebishov polinomlari yordamida interpolatsion funksiya tuziladi. 4. Chebishov metodining afzalliklari Runge effektining kamayishi Hisoblashda barqarorlik Ekstremal qiymatlarning optimal taqsimoti Yaxshi yaqinlashuv xossasш Xulosa Chebishov metodlari sonli analizda samarali va barqaror yondashuvlardan biridir. Ayniqsa interpolatsiya va aproksimatsiya masalalarida uning afzalliklari sezilarli bo‘ladi. Talabalar va mutaxassislar bu metodni o‘rganish orqali matematik modellashtirish va hisoblashda yuqori aniqlikn