TESKARI MASALALAR UCHUN TIXONOV REGULYARIZATSIYASI USULIDAN FOYDALANIB YER OSTI SUV ZAXIRALARINI ANIQLASH MASALASINING YECHIMI

Аннотация

This article studies conditionally well-posed solutions of first-kind operator equations in the sense of Tikhonov. It presents the concept of conditional well-posedness for A-compact operators in Banach spaces and outlines the main theorems related to this concept. In particular, initial conditions for Tikhonov well- posedness, Tikhonov’s theorem and its proof, as well as the existence and uniqueness of solutions are discussed. By analyzing compact sets, uniform continuity, and norm estimates, the necessary and sufficient conditions for Tikhonov well-posedness are derived. This work aids students in gaining a deeper understanding of the theoretical foundations of operator equations and the principles of well-posed problem formulation in mathematics. Kalit so‘zlar. Tixonov regulyarizatsiyasi, teskari masala, yer osti suvlari, operator tenglama, ill-posed masala, shartli korrektlik, kompyuter modellashuvi, geofizik o‘lchovlar, elektr o‘tkazuvchanlik, Banax fazosi, barqaror yechim, regulyarizatsiya parametri, shovqinli ma’lumotlar, fizik modellashtirish, numerik yondashuv, kompakt operator, silliqlik funksiyasi, cheklangan yechimlar sohasi, invers muammo, fizik asoslangan cheklovlar, yer strukturasi, suv qatlamlari, minimallashtirish masalasi, normali yechim, fizik interpretatsiya, matematik fizika, amaliy matematika. Ключевые слова: Регуляризация Тихонова, обратная задача, подземные воды, операторное уравнение, некорректная задача, условная корректность, компьютерное моделирование, геофизические измерения, электрическая проводимость, пространство Банаха, устойчивое решение, параметр регуляризации, зашумленные данные, физическое моделирование, численный подход, компактный оператор, функция гладкости, ограниченная область решений, обратная проблема, физически обоснованные ограничения, структура земли, водоносные слои, задача минимизации, нормальное решение, Выпуск журнала №-27 Часть–4_Июнь –2025 201 MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT физическая интерпретация, математическая физика, прикладная математика. Keywords: Tikhonov regularization, inverse problem, groundwater, operator equation, ill-posed problem, conditional correctness, computer modeling, geophysical measurements, electrical conductivity, Banach space, stable solution, regularization parameter, noisy data, physical modeling, numerical approach, compact operator, smoothness function, constrained solution domain, inverse analysis, physically justified constraints, subsurface structure, aquifer layers, minimization problem, normal solution, physical interpretation, mathematical physics, applied mathematics. Kirish. Quyidagi 1-tur operator tenglamani qaraymiz Выпуск журнала №-27 Часть–4_Июнь –2025 202 A x  f , x  X , f  F (1) bu yerda X , F Banax fazolari, A-kompakt operator. Faraz qiaylik, X fazosida M to‘plam ajratilgan bo‘lsin, M  X . 1-ta’rif. (1) masala Tixonov bo‘yicha korrekt qo‘yilgan deyiladi, agar quyidagi shartlar bajarilsa: 1) boshlang‘ichdan ma’lumki masalaning yechimi mavjud va M to‘plamga tegishli; 2) masalaning yechimi M to‘plamda yagona; 3) f funksiyaning yechimni f to‘plamdan tashqariga chiqarmaydigan cheksiz kichik o‘zgarishiga x yechimning cheksiz kichik o‘zgarishi mos keladi. M A bilan M to‘plamning A operator orqali F fazoga aksini belgilaymiz. U holda M to‘plamda A operator uzluksiz. A M to‘plam korrektlik to‘plami deyiladi. Umuman aytganda, M chiziqli fazo bo‘lmaganligi uchun, (1) masala bunday ko‘rinishda chiziqsiz masala bo‘lib qoladi. Klassik korrektlik bilan Tixonov bo‘yicha korrektlik tushunchalari orasidagi bog‘lanish va farqni ko‘rib chiqamiz. Tixonov bo‘yicha korrektlikni nazariy tekshirishda mavjudlik teoremasi isbotlanmaydi. Yechimning mavjudligi va korrektlik to‘plamiga tegishliligi masalaning qo‘yilishidan faraz qilinadi. Agar MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT qaralayotgan masala fizik masalaning matematik ifodalanishi bilan bog‘liq bo‘lsa, u holda qo‘shimcha fizik ma’nodan kelib chiqadi. Tixonov ma’nosidagi korrekt masalalarda yagonalikni isbotlash korrekt masalalarda yagonalikni isbotlashdan deyarli farq qilmaydi. Выпуск журнала №-27 Часть–4_Июнь –2025 203 M korrektlik to’plami sifatida odatda kompakt to’plam qaraladi. Bu holda teskari operatorning uzluksizligi 2) shartdan kelib chiqadi. 1-teorema (A.N.Tixonov). Faraz qilaylik, (1) tenglamaning yechimi yagona va M kompakt to‘plam bo‘lsin. U holda M to‘plamda A  1 ( A  1  A ) operatorga teskari operator uzluksiz bo‘ladi. Isbot. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni teoremaning tasdiqi o‘rinli bo‘lmasin. U holda shunday x 0  M va 0 0   M mavjudki, barcha 0   uchun shunday x 1  M elementi topiladiki, A x 0 A x 1    , x 0 x 1 0 bo‘ladi. Faraz qilaylik,  k   ketma- ketlik k   da nolga intiluvchi va  x 1  elementlar ketma-ketligi shundayki, ular uchun x 0 x k 0    A x 0 A x k k    x k  M o‘rinli bo‘lsin. M to‘plam kompakt ekanligidan x ketma-ketlikning k yaqinlashuvchi qism ketma-ketligi mavjud. Bu qism ketma-ketlik boshlang‘ich ketma-ketlik bilan u