DIFFERENSIAL HISOBNING ASOSIY TEOREMALARI (FERMA,ROLL, LAGRANJ VA KOSHI TEOREMALARI)

Аннотация

Mazkur maqolada differensial hisobning asosiy teoremalari- Ferma, Roll, Lagranj va Koshi teoremalari o’rganiladi. Bu teoremalar matematik analizning fundamental qismidir va funksiyalarni tahlil qilishda muhim o’rin tutadi. Har bir teoremaning matematik bayoni, geometrik ma’nosi va isboti bilan tanishiladi. Shuningdek bu teoremalar asosida hosila va differensialning xususiyatlarini chuqur tushunish imkoniyati yuzaga keladi. Tayanch tushunchalar: Hosila, differensial, differensiallanuvchilik, Ferma teoremasi, Roll teoremasi, Lagranj teoremasi, Koshi teoremasi, chekli hosila, uzluksizlik. Kirish: Matematik analizda funksiyalarni tahlil qilishning asosiy vositalaridan biri-hosiladir. Chunki hosila funksiyaning o’zgarishini ifodalaydi. Hosila yordamida funksiya qanday o’zgarishini, uning eng yuqori yoki eng past qiymatlarini aniqlash mumkin. Bu jarayonlarda asosiy o’rinni egallovchi muhim teoremalar mavjud va ular Ferma, Roll, Lagranj va Koshi teoremalaridir. Ular o’zaro bog’liq bo’lib, bir-birini umumlashtiradi. Bu teoremalar matematikadan tashqari fizika, mexanika va boshqa ko’plab sohalarda keng qo’llaniladi. Chunki ma’lumotlarni tahlil qilish va ularning o’zgarishi har qanday sohada kerak bo’ladi. Endi esa funksiya differensiali tushunchasiga to’xtalamiz. Faraz qilaylik, f (x) funksiya (a,b) da berilgan bo‘lib, x (a,b), x  x(a,b) 0 0 bo‘lsin. Ma’lumki, f(x ) f(x  x)  f(x ) ayirma f (x) funksiyaning x nuqtadagi 0 0 0 0 orttirmasi deyiladi. Agar  f(x ) ni ushbu  f (x )  Ax x ko‘rinishda ifodalash 0 0 mumkin bo‘lsa, f (x) funksiya x nuqtada differensiallanuvchi deyiladi, bunda A  0 const, x 0, da  0. Funksiya orttirmasidagi f '(x )x ifoda f(x) funksiyaning x 0 0 nuqtadagi differensiali deyiladi va df(x ) kabi belgilanadi: 0 df(x )  f '(x )x 0 0 x(a, b) nuqtada differensiallanuvchi f(x) funksiyaning grafigini keltiraylik: https://scientific-jl.com/new 11 88 00 Volume–79_Issue-1_June-2025 JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS 1-rasm 𝐷𝐶 Keltirilgan chizmadan ko‘rinadiki, = 𝑡𝑔𝛼 bo‘lib, DC  tg  AC  f (x)x 𝐴𝐶 bo‘ladi. Demak, f (x) funksiyaning x nuqtadagi differensiali funksiya grafigiga (x, f (x)) nuqtada o‘tkazilgan urinma orttirmasi DC ni ifodalar ekan. f (x) funksiyaning differensialini df (x)  f (x) dx ko‘rinishda ifodalash mumkin. Ferma teoremasi: f(x) funksiya X to’plamda aniqlangan bo’lsin. Shu to’plamning ichki nuqtasida 𝑐 ∈ 𝑋 o’zining eng katta(kichik) qiymatiga erishsin. Agar shu nuqtada chekli ikki tomonlama hosila mavjud bo’lsa, bu hosilaning qiymati 0 ga teng bo’lishi zarurdir. Isbot: Aniqlik uchun f(x) funksiya c nuqtada o’zining eng katta qiymatiga erishsin deylik. Demak barcha x lar uchun f(x)≤f(c). U holda quyidagi ikkita holatni qarab chiqamiz: 1-hol: 𝛥𝑥 0 𝑏𝑜′𝑙𝑠𝑎, 𝑓′(𝐶 +0) = 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝐶+𝛥𝑥)−𝑓(𝐶) ≤ 0 ⇒ 𝑓′(𝑐 + 0) ≤ 0 𝛥𝑥→+0 𝛥𝑥 bo’ladi. Chekli ikki tomonlama hosila mavjud bo’lishi uchun yuqoridagi ikki holat teng bo’lishi kerak bo’ladi va quyidagi natijaga kelamiz: 𝑓′(𝐶 − 0) = 𝑓′(𝐶 + 0) = 𝑓′(𝐶) = 0 Isbotlandi. Ferma teoremasining geometrik ma’nosi: X to’plamda shunday c nuqta mavjudki, bu nuqtada funksiya grafigiga o’tkazilgan urinma OX o’qiga parallel bo’ladi. 2-rasm https://scientific-jl.com/new 11 88 11 Volume–79_Issue-1_June-2025 JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS Roll teoremasi: Agar у  f (x) funksiya [𝑎, 𝑏] kеsmada aniqlangan, uzluksiz va diffеrеnsiallanuvchi bo‘lib, kеsmaning oxirlarida tеng f(𝑎) = f(𝑏) qiymatlarni qabul qilsa, u holda kеsmaning ichida kamida bitta 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) nuqta mavjudki, unda hosila nolga tеng, ya’ni f ′ (𝑐) = 0 ( Tеorеmaning shartlaridan aqalli bittasining buzilishi tеorеma tasdig‘ining buzilishiga olib kеladi). Isbot: Shartga ko'ra f(x)∈ C[a, b]. Unda Veyershtrassning ikkinchi teoremasiga ko'ra f(x) funksiya [a, b] da o'zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi, ya’ni shunday c ,c nuqtalar (c ,c ∈[a, b]) topiladiki, unda 1 2 1 2 f(c ) = max{f(x)|x∈ [a,b]}, 1 f(c ) = min{f(x)|x∈ [a,b]} shartlar bajariladi. 2 Bu yerda ham ikkita holni qaraymiz: 1-hol: Agar f(c )=f(c ) bo'lsa, unda [a, b] da f(x) = const bo'lib,∀ x ∈ (𝑎,𝑏) da 1 2 0 𝑓′(𝑥 ) = 0 bo'ladi. 0 2-hol: Agar f(c )≠f(c ) bo’lsa, u holda f(a)=f(b) bo'lganligi sababli f(x) funksiya 1 2 f(c ) hamda f(c ) qiymatlaming kamida bittasiga [a,b] kesmaning ichki x (a<x <b) 1 2 0 0 nuqtasida erishadi. Ferma teoremasiga binoan f'(x ) = 0 bo'ladi. 0 Isbotlandi. Roll teoremasining geometrik ma’nosi: shunday 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) nuqta mavjudki, bu nuqtada funksiya grafigiga o‘tkazilgan urinma Ox o‘qiga parallel bo‘ladi. 3-rasm Lagranj teoremasi: Agar у  f (x) funksiya [𝑎, 𝑏] kеsmada aniqlangan, uzluksiz va diffеrеnsiallanuvchi bo‘lsa, u holda [𝑎, 𝑏] kеsma ichida kamida bitta 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) nuqta topiladiki, bu nuqtada f (b)  f (a)  f (c)(b  a) tеnglik bajariladi. 𝑓′(𝑐) = 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) . 𝑏−𝑎 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) Isbot: Ushbu F(x)=f(x)-f(a)- (x-a) yordamchi funksiyani qarab 𝑏−𝑎 chiqaylik. Bu funksiya Roll teoremasining barcha sha