NOKORREKT VA TESKARI MASALALAR FANIDAN ISSIQLIK TARQALISH TENGLAMASI UCHUN TESKARI MASALALAR

Аннотация

Рассматривается задача определения начального распределения температуры на основе измерения температуры в одной точке. В данной статье изложена постановка этой обратной задачи на примере второго краевого условия для уравнения теплопроводности. Ключевые слова: уравнение теплопроводности, прямая задача, обратная задача, начальное условие, краевое условие. Kirish. Issiqlik tarqalish jarayonlari ko‘plab texnik va tabiiy tizimlarda muhim rol o‘ynaydi. Ularni matematik modellashtirishda issiqlik tarqalish tenglamasi asosiy vosita hisoblanadi. Mazkur tenglama asosida qurilgan to‘g‘ri masalalarda boshlang‘ich va chegaraviy shartlar ma’lum bo‘lib, yechim topilishi talab qilinadi. Biroq ko‘plab real holatlarda bu shartlar to‘liq ma’lum bo‘lmaydi, aksincha, haroratning ma’lum vaqt oralig‘ida yoki fazodagi qiymatlari kuzatiladi. Bunday vaziyatlarda teskari masalalarni hal qilish zarur bo‘ladi.Teskari masalalarda yechimni aniqlash jarayoni odatda ill- posed (yaxshi qo‘yilmagan) bo‘lib, kichik xatoliklar katta og‘ishlarga olib kelishi mumkin. Shu sababli, bunday masalalarni o‘rganish nafaqat matematik, balki fizik, texnik va hisoblash nuqtayi nazaridan ham dolzarb hisoblanadi. Ayniqsa, issiqlik https://scientific-jl.com/new 22 11 88 Volume–78_Issue-3_June-2025 JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS manbaini aniqlash, boshlang‘ich haroratni tiklash yoki o‘lchovlar orqali tizim holatini qayta tiklash kabi masalalar zamonaviy ilm-fan va sanoatda katta amaliy ahamiyatga ega. To‘g‘ri masala. Ushbu u a2u ,0 xl,0t T, (1) t xx u(0,t) u (l,t) 0,0t T, (2) x ul,t gt (3) u(x,0)(x),0xl shartlarni qanoatlantiruvchi u(x,t) funksiyani toping Teskari masala. tt ,t ,t 0 bo‘lganda g(t)  u(x ,t)funksiya berilgan, bu 0 1 0 0 yerda x 0,l kesmadagi biror fiksirlangan nuqta, u(x,t) esa (1)-(3) masalaning 0 yechimi. 0,lkesmada (x)funksiyani topish talab qilinadi. Bu teskari masalaning fizik talqini quyidagicha. Muayyan vaqt oralig‘ida harorat sterjenning belgilangan nuqtasida o‘lchanadi va bu o‘lchovlardan dastlabki harorat taqsimotini aniqlash kerak. (1)-(3) masalaning yechimi o‘zgaruvchilarni ajratish usuli bilan olinishi mumkin va  2l (2n1)   (2n1) 2   (2n1)  u(x,t) ()sin dexp a2tsin x n1 l 0  2l    2l    2l  ko‘rinishga ega. Bu tenglikka x x qo‘yib, (x)funksiya uchun 0  2l (2n1)  (2n1) 2  (2n1)   ()sin dexp a2tsin x  gt(4) n1 l 0  2l    2l    2l  tenglama hosil bo‘ladi, bu yerda tt ,t . 0 1 O‘lchov nuqtasi x segment oxirida bo‘lgan taqdirda (1) tenglama yechimining 0 yagonaligini tekshiramiz. Teorema. Agar x  0bo‘lsa, (1) tenglamaning yechimi L 0,lfazoda yagona 0 2 bo‘ladi. Isbot. (1) tenglamaning chiziqliligidan kelib chiqadiki, L 0,lfazoda 2 2  (2n1) 2  yechimning yagonaligini isbotlash uchun gt exp a2z.(4) tenglikka l   2l   gt 2 l exp        (2n 2  l 1)   2 a2z    .va x 0  2 l ,k2n11nqiymatlarni qo‘ysak, tt 0 ,t 1  da quyidagini olamiz. https://scientific-jl.com/new 22 11 99 Volume–78_Issue-3_June-2025 JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS  2 l (2n1)    (2n1) 2   2   (2n1) 2     ()sin dexp a2t exp a2z. n1 l 0  2l    2l   l   l   (5) Komplks yarim tekislikda Rez  l (2n1)   (2n1) 2  (z)2 ()sin dexp a2z. (6) n1 0  2l    2l   kompleks o‘zgaruvchili funksiyasni ko‘rib chiqamiz, bu yerda a0,t . Demak, 0 Rez bo‘lganda   (2n1) 2     (2n1) 2   exp a2z  exp a2t ,   2l     2l   u holda bu yarim tekislikda (6) ning o‘ng tomonidagi qator tekis yaqinlashadi. Bu qatorning har bir hadi uchun analitik funksiya Rezekanligini hisobga olib, Veyershtras teoremasini qo‘llagan holda, z0 funksiya Rezuchun analitik ekanligini bilib olamiz. (5) dan z funksiyaning analitiklik sohasida yotuvchi, haqiqiy o‘qdagi t ,t kesmada z0 ekanligi kelib chiqadi, u holda teoremadagi yagonalik 0 xulosasi analitik funksiyalar uchun z0, barcha z uchun , Rezekanligidan kelib chiqadi. Shunday qilib, (5) tenglik barcha t  t haqiqiy sonlar uchun bajariladi.Bu 0 tenglikdan t  bo‘lgandagi limitga o‘tsak, biz ketma-ket l (2n1)   ()sin  d0 (7) 0  2l  l (2n1)  ()sin  d1 0  2l  tenglikni olamiz va quyidagi natijaga erishamiz. Bu tenlikdn kelib chiqadiki (2n1)  L 0,l cos  x  ,n=1,2,.. funksiyalar sistemasi to‘laligi sababli (7) 2  l  tengliklardan (x )  0 ekanligi kelib chiqadi. 1-teorema isbotlandi. Sterjen ichidagi x0, l haroratni o‘lchashda teskari masala yechimining yagonaligi x kuzatish nuqtasini tanlashga bog‘liqligini ko‘rsatamiz. 0 (2n1)  Haqiqatan ham, faraz qilaylik x =l/2, va (x) cos x , bo‘lsin. U holda 0  l  (1)-(3) masala yechimi l (2n1)  ()sin  d0 0  2l  https://scientific-jl.com/new 22 22 00 Volume–78_Issue-3_June-2025 JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS l (2n1)   ()sin  d1 0  2l  2 (2n1)  ()  sin 