Автоколебания линейного консольного стержена

Аннотация

В данной статье рассматривается задача о флаттере физически нелинейного вязкоупругого стержня в потоке газа с учетом нелинейных зависимостей. Приведена постановка и метод решения задачи флаттера вязкоупругого стержня с учетом физической и аэродинамической нелинейностей. Ключевые слова: вязкоупругость, стержень, автоколебания, флаттер, физическая нелинейность, аэродинамическая нелинейность, метод Бубнова- Галёркина, ядро релаксации, численный метод, нелинейное интегро- дифференциальное уравнение. Аннотация. Ушбу мақолада чизиқсиз боғликларни ҳисобга олган ҳолда газ оқимидаги физик чизиқсиз қовушқоқ эластик стерженнинг автотебраниш ҳолати ҳақидаги масала кўрилмоқда. Масаланинг қўйилиши, физик ва аэродинамик чизиқсиз қовушқоқ эластик стерженнинг флаттер ҳолати учун масалани ечиш усули асосида матматематик модели келтириб чиыарилган. Калит сўзлар: қовушқоқ-эластик, автотебраниш, флаттер, физик чизиқсизлик, аэродинамик чизиқсизлик, Бубнов-Галёркин усули, релаксация ядроси, сонли усул, чизиқсиз интеграл-дифференциал тенглама. Введение. Наследственная теория вязкоупругости предоставила широкую возможность для описания динамических процессов деформирования разнообразных материалов. Поскольку стержни используются в качестве конструктивных элементов во многих отраслях промышленности и техники, то изучение их динамического поведения при 50 “JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN UZBEKISTAN” JURNALI VOLUME 03, ISSUE 06, 2025. JUNE ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869 различных формах и исследования конструкций на колебания и динамическую устойчивость с учетом физической линейности материала являются актуальными. Постановка задачи. Рассмотрим задачу флаттера вязкоупругого стержня с учетом физической линейности [4, 7, 8]  E 1 R* , u , u  zw x x (1) или  E 1 R* zw xx (2) где E – модуль упругости. Учитываем также влияние аэродинамической линейности, по одномерной теории газа давление газа на поршень который имеет вид [1]: p  w w q   V  c  x t  где обозначен q  p p , k    c q  k V   x t  (3) Решим задачу о флаттере в линейной вязкоупругой постановке учитывая физические и аэродинамические линейности. С этой целью построим математическую модель для исследования вязкоупругого стержня в потоке газа с учетом этих линейностей. В данном случае, принимая гипотезу плоских сечений для изгибающего момента используем следующую формулу [2]: h/2 M  b(x)zdz x x h/2 (4) (2) поставим в (4) и получаем 51 “JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN UZBEKISTAN” JURNALI VOLUME 03, ISSUE 06, 2025. JUNE ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869 h/2 h/2 M  Eb(x)1 R*  zw zdz  Eb(x)1 R* w  z2dz  x xx xx h/2 h\2 h\2 z3 h3  Eb(x)1 R* w  Eb(x)1 R* w  xx 3 xx 12 h\2 b(x)h3(x)  E 1 R* w 12 xx или M E1R* J w x 2 xx (5) и равные для стержней шириной b(x) и высотой h(x) b(x)h3(x) J  . 2 12 Подставляя (3) и (5) в уравнение равновесия [2] и перейдя к безразмерным координатам и опуская штрихи имеем 1R* g(x)w F(x)w Pw w 0 x2 xx tt x t (6) где w h w, x  ax,t t t,m(x)  m F(x),h(x)  h h(x),b(x) b b(x), 0 1 0 0 0 b h3 J  J0g(x), g(x) b(x)h3(x), J0  0 0 , 2 2 2 12 kVa3 m a4 kza4 P , t  0 ,  , F(x)b(x)h(x) EJ(0) 1 EJ(0) EJ(0)t 2 2 2 1 b(x)=c-a x; h(x)=1-a x; c=5 1 2 h – величина высоты стержня в концах, b – величина ширины стержня в 0 0 концах, m – величина массы соответствующий единичному переменного 0 сечения стержня. Линейные интегро-дифференциальное уравнение в частных производных (6), вместе с граничными [5] и начальными условиями представляют математическую модель задачи о флаттере линейного вязкоупругого стержня. Требуется найти критические скорости P кр приводящий к нарастающему амплитуде колебаний. 52 “JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN UZBEKISTAN” JURNALI VOLUME 03, ISSUE 06, 2025. JUNE ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869 Приближенное решение построим методом Бубнова-Галеркина. Представим решение уравнения (6) в виде N wu (t) (x) k k k1 (7) где (х) - известные, базисные функции удовлетворяющие заданным к граничным условиям, u (t) - неизвестные функции от времени, подлежащие к определению. Для нахождения неизвестных функций u (t) подставляем (7) и к следующие частные производные в (6) N N w u (t)(x); w u (t)(x); x k k xx k k k1 k1 N N w u(t) (x); w u(t) (x). t k k tt k k k1 k1 получим N  N N N  1R* u (t)  g(x)(x)  F(x)u(t) (x)Pu (t)(x)u(t) (x) 0 k k k k k k k k k1 k1 k1 k1 полученную умножая на (х) и проинтегрируем по х, получаем следующие i линейные системы обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений N   a u(t)b u(t)  1R*  u (t)Pd u (t)  0,i 1,N ki k ki k ki k ki k k1 (8) где 1 1 a  F(x)(x)(x)dx, b  (x)(x)dx, ki k i ki k i 0 0 1  1    d(x) (x) (x)dx, d   (x)(x)dx, ki  k  i ki k i 0 0 Интегрирование линейной системы (8) выполнялось численным методом основанном аналитических преобразований [3], используя ядро Ржаницына–Колт