NOKORREKT VA TESKARI MASALALAR FANIDAN TO‘LQIN TENGLAMASI UCHUN DRIXLE MASALASINING KORREKTIV SHARTLARNING BUZILISHI

Аннотация

В данной научной работе проанализированы условия корректности для задачи Дирихле, поставленной для уравнения волны, и исследованы последствия нарушения этих условий, приводящие к переходу задачи в некорректную постановку. В ходе исследования рассмотрены вопросы существования, единственности и устойчивости решения, а также доказана единственность с использованием метода энергии. Полученные результаты имеют важное значение для обеспечения устойчивости решений в задачах математического моделирования и численных вычислений. Ключевые слова: корректная постановка, математическое моделирование, численные вычисления, волновое уравнение, расходимость, некорректная постановка, собственное значение, собственная функция. Kirish.To‘lqin tenglamasi matematik fizikaning asosiy tenglamalaridan biri bo‘lib, u turli fizikaviy jarayonlarni modellashtirishda keng qo‘llaniladi. Ushbu ishda aynan to‘lqin tenglamasi uchun qo‘yilgan Dirixle masalasining korrektiv shartlari va ularning buzilishi oqibatlari o‘rganiladi. Masalaning nokorrekt holga o‘tishi yechimning mavjud emasligi, yagonalikning yo‘qligi yoki barqarorlikning buzilishiga olib kelishi mumkin. Ayniqsa, chegaraviy shartlarning to‘liq bajarilishi, xususan Dirixle sharti, masalaning korrektivligi uchun muhim omil hisoblanadi. Shu nuqtai nazardan, ushbu tadqiqot to‘lqin jarayonlarini tahlil qilishda muhim nazariy va amaliy ahamiyatga ega. Aytaylik, D= {0 0 holatida: X ( x ) = A c o s ( l x ) + B s i n ( l x ) Yana chegaraviy shartlarni qo‘llasak: X ( 0 ) = A = 0 X ( l ) = B s i n ( l l ) = 0 Rtivial bo‘lmagan yechim uchun: s i n ( l l ) = 0 ® l l = p k , k = 1 , 2 , 3 , . . . l k = жзззи p k l цчччш 2 Xos sonni topib oldik. Endi esa Xos funksiyani topamiz. X k ( x ) = s i n жзззи p k l x цчччш , k = 1 , 2 , 3 , . . . Har bir l k uchun vaqt tenglamasini tuzamiz. l k ni olib borib (6) formulaga qo‘yamiz. T k ''( t ) + жзззи a p l k цчччш 2 T k ( t ) = 0 (7) Har bir l uchun vaqt tenglamasini tuzganimizdan so‘ng umumiy k tenglamasini ham tuzib olamiz, ya’ni (7) tenglikni (4) tenglikka olib borib qo‘yamiz: T (t)= a cos l at+ b sin l at, k k k k k Ґ 2 U(x,t)= е й a cos l at+ b sin l at щ sin l x,k ОN (8) клk k k k ыъ l k k=1 Umumiy tenglamani tuzib olganimizdan keyin uni boshlang‘ich shartlarga qo‘yamiz . a va b larni topib olamiz. k k Ґ 2 U (x,t)= е й - a l asin l at+ b l acos l at щ sin l x,k ОN t кл k k k k k k ыъ l k k=1 https://scientific-jl.com/luch/ 7 0 Часть-46_ Том-6_ июнь-2025 U t ( x , 0 ) = Ґ еk = 1 й-кл a k l k a * 0 + b k l k a * 1 щъы 2 l s i n l k x = j ( x ) , k О N , U t ( x , T ) k 1 a k k a s i n k a T b k k a c o s k a T 2 l s i n k x ( x ) , k N       =  =  − +  =  j k = 2 l т l 0 j ( x ) s i n l k x d x ® Ґ 2 j (x)= е j sin l xdx, l k k k=1 Ґ еk = 1 [ - a k * 0 + b k * 1 ] l k a 2 l s i n l k x = Ґ еk = 1 2 l j k s i n l k x , b k = j l k k a = a l p k ’ j ( x ) = Ґ еk = 1 1 k s i n k p l x (9) U ( x , t ) = Ґ еk = 1 s i n k p l a t s i n k p l x (10) b k ni topib oldik. Endi a k ni b k orqali topib olamiz. Ґ еk = 1 йкл a k c o s l k a T + b k s i n l k a T щъы l k a 2 l s i n l k x = Ґ еk = 1 2 l y k s i n l k x , a k = c o s y k l k a T - j l k k a t g l k a T . (11) a k va b k larni topib oldik. Endi (9) va (11) tengliklarni olib borib U(x,t) funksiyaga qo‘yamiz. й ж ц ж ц щ U(x,t)= е k Ґ =1 к к к л - з з з зиcos y l k k aT - j l k k a tg l k aT ш ч ч ч чч l k asin l k at+ и з з з з j l k k aш ч ч ч чч l k acos l k at ы ъ ъ ъ 2 l sin l k x Yuqoridagi U(x,t)