DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI SONLI USULLAR BILAN YECHISH VA ULARNING MUHANDISLIKDAGI QO’LLANILISHI

Аннотация

В данной статье рассматриваются теоретические основы численного решения дифференциальных уравнений и их практическое применение в инженерной области. Основное внимание уделяется методам Эйлера, Рунге- Кутты, а также способам решения линейных и нелинейных дифференциальных уравнений. Приводятся примеры использования этих методов в задачах теплопередачи, электрических систем и механических колебаний. Kalit so‘zlar: Differensial tenglama, sonli usullar, Eyler usuli, Runge-Kutta usuli, muhandislik modellashtirish, issiqlik uzatish, elektr tizimlari, tebranishlar. Keywords: Differential equation, numerical methods, Euler's method, Runge-Kutta method, engineering modeling, heat transfer, electrical systems, vibrations. Ключевые слова: Дифференциальные уравнения, численные методы, метод Эйлера, метод Рунге-Кутты, инженерное моделирование, теплопередача, электрические системы, колебания. Introduction (Kirish). Zamonaviy ilm-fan va texnika taraqqiyoti bilan bir qatorda, muhandislik sohalarida yuzaga keladigan murakkab tizimlarni matematik modellashtirish zaruriyati ortib bormoqda. Bunday modellar ko‘pincha differensial tenglamalar ko‘rinishida ifodalanadi, chunki ular vaqt bo‘yicha o‘zgaruvchan fizik jarayonlarni, masalan, issiqlik uzatish, elektr toki, mexanik harakat kabi holatlarni aniq tasvirlaydi. https://scientific-jl.org/obr 2 1 8 Выпуск журнала №-70 Часть–7_ июня –2025 ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ 2181-3187 Ko‘plab real muhandislik masalalari analitik yechimga ega emas yoki ularni qo‘l bilan yechish juda murakkab. Shu sababli, differensial tenglamalarni sonli usullar yordamida yechish dolzarb masalalardan biri hisoblanadi. Eyler usuli, Runge-Kutta usullari, Chekli ayirmalar usuli kabi raqamli yondashuvlar yordamida turli muhandislik muammolarining kompyuterli simulyatsiyasini samarali amalga oshirish mumkin. Mazkur maqolada differensial tenglamalarni sonli usullar bilan yechishning nazariy asoslari ko‘rib chiqiladi va ularning muhandislikdagi, ayniqsa, fizik tizimlarni modellashtirishdagi amaliy qo‘llanilishiga alohida e’tibor qaratiladi. 1. Differensial tenglamalar haqida umumiy tushuncha Differensial tenglama — bu bir yoki bir nechta nomaʼlum funksiyaning hosilalarini (tug‘ri yoki qisman) o‘z ichiga olgan tenglama. Bunday tenglamalar yordamida fizik, kimyoviy, biologik va muhandislik jarayonlarining matematik modellarini tuzish mumkin. Ular oddiy differensial tenglamalar (ODT) va xususiy hosilali differensial tenglamalar (XHDT) shaklida bo‘ladi. 2. Sonli usullarning zarurati Ko‘plab real hayotdagi differensial tenglamalarning aniq (analitik) yechimi mavjud emas. Bunday holatlarda raqamli (sonli) yechimlar orqali yaqin yechimlarni topish zarur bo‘ladi. Kompyuter dasturlari yordamida bu usullar amalda keng qo‘llaniladi. 3. Asosiy sonli usullar a) Eyler usuli Bu eng oddiy sonli yechim usullaridan biri bo‘lib, differensial tenglama yechimini bosqichma-bosqich, berilgan boshlang‘ich shartlar asosida hisoblab boradi. Formulasi: https://scientific-jl.org/obr 2 1 9 Выпуск журнала №-70 Часть–7_ июня –2025 ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ 2181-3187 y =y +h*f(x ,y ) n+1 n n n Bu usul oddiy bo‘lsa-da, aniqligi past bo‘lishi mumkin. b) Runge-Kutta usullari Eyler usuliga nisbatan ancha aniq va barqaror. Eng ko‘p qo‘llaniladigani – to‘rtinchi tartibli Runge-Kutta usuli. Formulasi: y =y +(1/6)*(k +2*k +k ) n+1 n 1 2 4 Bu yerda k ,k ,k ,k qiymatlar mos ravishda oraliq nuqtalarda aniqlanadi. 1 2 3 4 c) Chekli ayirmalar usuli Xususiy hosilali tenglamalarni yechishda qo‘llaniladi. Bu usulda hosilalar sonli ayirmalar yordamida yaqinlashtiriladi. Issiqlik tenglamasi, to‘lqin tenglamasi kabi PDE masalalarda juda muhim. 4. Muhandislikdagi qo‘llanilishi ▪ Issiqlik uzatish tizimlarida Fourier qonuni asosida tuzilgan issiqlik tenglamalari sonli usullar bilan yechilib, harorat tarqalishini aniqlash mumkin. ▪ Elektr zanjirlari RC, RL, RLC zanjirlaridagi kuchlanish va tokni ifodalovchi tenglamalar ODT ko‘rinishida bo‘lib, ular sonli usullar bilan yechiladi. ▪ Mexanik tebranishlar Massani buloqqa bog‘langan tizimlar, amortizatsiya bilan yoki usiz, differensial tenglama asosida modellashtiriladi. Tezlik va siljish vaqt bo‘yicha aniqlanadi. https://scientific-jl.org/obr 2 2 0 Выпуск журнала №-70 Часть–7_ июня –2025 ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ 2181-3187 ▪ Aerodinamika va gidrodinamika XHDT larning yechimi orqali suyuqliklar yoki gazlar harakati simulyatsiya qilinadi (masalan, Navye-Stokes tenglamasi). 5. Dasturlash vositalari Sonli usullarni qo‘llashda quyidagi dasturlar ishlatiladi: MATLAB – sonli hisoblash uchun qulay vosita. Python (NumPy, SciPy) – ochiq manbali, ilmiy hisoblar uchun keng imkoniyatlar. Maple / Mathematica – differensial tenglamalarni yechish va grafik tasvirlashda ishlatiladi. Excel Solver – sodda sonli modellar uchun foydali bo‘lishi mumkin. Xulosa Differensial tenglamalar tabiat va texnikadagi turli fizikaviy jarayonlarni modellashtirishda asosiy vositalardan biridir. Ula