KORREKT MASALA TUSHUNCHASI. KORREKT MASALA TA’RIFI. TESKARI TENGLAMA UCHUN KOSHI MASALASI. ISSIQLIK TENGLAMASI UCHUN KOSHI MASALASI.

Аннотация

Ushbu tezis ishida matematik fizika tenglamalarida muammoning to'g'ri bayon etilishi tushunchasi ko'rib chiqiladi. To'g'rilikning uchta asosiy sharti ochib beriladi: echimning mavjudligi, uning o'ziga xosligi va dastlabki shartlardagi kichik o'zgarishlarga qarshilik. To'g'ri muammo sifatida issiqlik o'tkazuvchanligi tenglamasi uchun Koshi muammosiga misol keltirilgan. Ushbu shartlar buzilgan teskari vazifa ham tahlil qilinadi. Ta'kidlanishicha, teskari tenglamalar xatolarga sezgir va jismoniy haqiqatga mos kelmaydi. Issiqlik o'tkazuvchanligi tenglamasining asosiy echimi orqali to'g'ri echimning mavjudligi va barqarorligi ko'rsatilgan. Kalit so'zlar Muammoning to'g'ri bayoni, teskari tenglama, issiqlik o'tkazuvchanligi tenglamasi, Koshi muammosi, differentsial tenglama, barqarorlik, echimning o'ziga xosligi, matematik fizika. Аннотатсия В данной работе рассматривается понятие корректной постановки задачи в рамках уравнений математической физики. Корректной называется такая задача, которая удовлетворяет трём основным условиям: существование решения, его единственность и устойчивость к малым изменениям исходных данных. Особое внимание уделяется задаче Коши для уравнения теплопроводности как примеру корректной задачи. Также приводится анализ обратной задачи, при которой хотя бы одно из условий корректности нарушается. Обосновано, что обратные задачи чувствительны к малейшим погрешностям и часто теряют физическую интерпретацию. Приведено фундаментальное решение уравнения теплопроводности как подтверждение существования и устойчивости корректного решения. Ключевые слова Корректная постановка задачи, уравнение теплопроводности, задача Коши, обратная задача, дифференциальные уравнения, устойчивость, математическая физика, единственность решения. 84 THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF PEDAGOGICAL SCIENCES International scientific-online conference Abstrakt This thesis explores the concept of a well-posed (correct) problem in the context of mathematical physics equations. The three main conditions of well- posedness—existence of a solution, uniqueness, and stability with respect to initial data—are discussed in detail. The Cauchy problem for the heat equation is presented as an example of a well-posed problem. In contrast, the inverse problem is analyzed, where these conditions fail. It is noted that inverse equations are highly sensitive to errors and often lack physical realism. The existence and stability of the correct solution are demonstrated through the fundamental solution of the heat equation. Keywords Well-posed problem, inverse equation, heat equation, Cauchy problem, differential equation, stability, uniqueness of solution, mathematical physics. Matematik fizika va differensial tenglamalar sohasida ko‘plab fizik jarayonlar differensial tenglamalar orqali ifodalanadi. Bunday tenglamalar asosida tuzilgan masalalar amaliy muammolarga yechim topishda muhim o‘rin tutadi. Ammo har bir masala noto‘g‘ri qo‘yilishi yoki noto‘g‘ri yechimga olib kelishi mumkin. Shu sababli korrekt masala tushunchasi joriy qilingan. 2. Korrekt masala tushunchasi Korrekt masala – bu fransuz matematikasi Hadamard tomonidan joriy etilgan ta’rif bo‘lib, quyidagi uchta shart bajarilgan masala to‘g‘ri qo‘yilgan (korrekt) hisoblanadi: Yechim mavjudligi: Masala uchun yechim mavjud bo‘lishi kerak. Yechim yagona bo‘lishi: Har qanday berilgan boshlang‘ich (yoki chegara) shartlar uchun yagona yechim bo‘lishi lozim. Yechimning barqarorligi: Boshlang‘ich shartlardagi kichik o‘zgarish yechimda katta o‘zgarishga olib kelmasligi kerak. Agar yuqoridagi shartlardan birortasi buzilsa, masala inkorrekt (noto‘g‘ri qo‘yilgan) bo‘ladi. 3. Teskari tenglama uchun Koshi masalasi Ko‘pchilik fizik tenglamalar vaqtga bog‘liq bo‘ladi. Ammo ba’zida vaqtni teskari yo‘nalishda o‘rganish zarur bo‘ladi. Masalan: u a2u t xx bu – issiqlik tenglamasining teskari ko‘rinishi bo‘lib, vaqt ortga qarab o‘tishini anglatadi. Teskari Koshi masalasi: 85 THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF PEDAGOGICAL SCIENCES International scientific-online conference 86 u t a 2 u u ( x x x , , x 0 ) R , t ( x ) ( 0 , T ) Bu masala odatda inkorrekt bo‘ladi, chunki kichik nuqsonli boshlang‘ich funksiyadan kelib chiqib vaqt ortga ketganda yechim keskin o‘zgaradi. Bu esa fizik mazmunga to‘g‘ri kelmaydi (issiqlik o‘z-o‘zidan ortib ketmaydi). 4. Issiqlik tenglamasi uchun Koshi masalasi Issiqlik tenglamasi – issiqlikning vaqt bo‘yicha qanday tarqalishini ifodalovchi parabolik differensial tenglama:  u t  a 2 u x x , Koshi masalasi: u t u a ( 2 u x , x x 0 , ) x R ( , x t ) 0 Bu masala korrekt hisoblanadi: Yechimi mavjud (masalan, fundamental funksiyalar orqali), Yagona, Boshlang‘ich funksiyadagi kichik o‘zgarishlar yechimni barqaror ta’sir qiladi. Misol uchun fundamental yechim: u ( x , t ) 4 1 a 2 t e ( x 4 a 2) 2t ( ) d Matematik fizikadagi har bir masala korrekt qo‘yilishi lozim. Korrekt masala yechimining mavjudligi, yagonaligi va barqarorligi amaliy hisob- kitoblarda aniqlikni ta’minlayd