CHIZIQLI INTEGRAL TENGLAMALARNING ASOSIY KO‘RINISHLARI

Аннотация

В данной статье рассматриваются основные понятия и классификация теории интегральных уравнений. Особое внимание уделено интегральным уравнениям Фредгольма первого и второго рода, их структуре — неизвестной функции, ядру, параметру и свободному члену. Подробно рассматриваются понятия собственных значений и собственных функций, а также свойства симметрических ядер и формулируется теорема Фредгольма. Статья служит важной теоретической основой для понимания теории линейных интегральных уравнений. Ключевые слова: линейное интегральное уравнение, уравнение Фредгольма, симметрическое ядро, собственное значение, собственная функция, теорема Фредгольма, неизвестная функция, ядро. Annotation: This article explores the fundamental concepts and classification of integral equation theory. Special focus is given to Fredholm integral equations of the first and second kind, including detailed explanations of their components — the unknown function, the kernel, the parameter, and the free term. The notions of eigenvalues and eigenfunctions are discussed, as well as the properties of symmetric kernels, with the formulation of the Fredholm theorem. The article provides a solid theoretical foundation for understanding linear integral equations. Keywords: linear integral equation, Fredholm equation, symmetric kernel, eigenvalue, eigenfunction, Fredholm theorem, unknown function, kernel. 126 THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF PEDAGOGICAL SCIENCES International scientific-online conference So‘nggi asrlarda matematikaning ko‘plab sohalari jadal rivojlanib, ayniqsa, differensial va integral tenglamalar nazariyasi amaliyotda keng qo‘llaniladigan mustaqil ilmiy yo‘nalishga aylandi. Integral tenglamalar fizikadagi, texnikadagi, biologiyadagi va boshqa ko‘plab tabiiy fanlardagi muammolarni ifodalashda va ularni tahlil qilishda muhim vosita bo‘lib xizmat qiladi. Bu tenglamalar noma’lum funksiya integral ishorasi ostida qatnashadigan tenglamalardir. Ularning eng ko‘p uchraydigan turlari — Fredgolm va Volterra tipidagi chiziqli integral tenglamalar — nazariy jihatdan ham, amaliy tomondan ham katta ahamiyatga ega. Ushbu ishda chiziqli integral tenglamalarning asosiy ko‘rinishlari, ularning xossalari, xos qiymatlar, xos funksiyalar va simmetrik yadrolar bilan bog‘liq muhim teorema — Fredgolm teoremasi bayon etiladi. Integral tenglamalar nazariyasi shu qadar rivojlanib, tenglamalarning turlari shu qadar ko‘payib ketdiki, ularga umumiy ta’rif berishning iloji bo‘lmay qoldi. Shunday bo‘lsa ham, kitobxonda biror boshlang‘ich taassurot qolshi uchun integral tenglamaning ilgarilari qabul qilingan ta’rifini eslatib o‘tamiz. Ma’lumki, agar biror tenglamadagi noma’lum funksiya differensiallash ishorasi ostida bo‘lsa, bunday tenglama differensial tenglama deb yuritiladi. Integral tenglamaning ta’rifi ham shunga o‘xshaydi. Agar tenglamadagi noma’lum funksiya shu funksiyaning argumenti bo‘yicha olinadigan integral ishorasi ostida bo‘lsa, bunday tenglama integral tenglama deb ataladi. Agar integral tenglamada noma’lum funksiya darajasi birga teng bo‘lsa, bunday tenglama chiziqli integral tenglama deyiladi. Integral tenglamalarning turlari ko‘p, ulardan ba’zilari quyidagilardir. Fredgolm integral tenglamalari. Ushbu integral tenglama Fredgolmning1 birinchi tur integral tenglamasi deyiladi: 127 b a K ( x , t ) u ( t ) d t f ( x )    (1) bunda u(t) – noma’lum funksiya, f(t) – ozod had va K(x,t) tenglamaning yadrosi – ma’lum funksiyalar, integrallash chegaralari a va b berilgan haqiqiy o‘zgarmas sonlardir. Fredgolmning ikkinchi tur integral tenglamasi deb quyidagi tenglamani aytamiz: b (2) u(x)  f (x)K(x,t)u(t)dt a THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF PEDAGOGICAL SCIENCES International scientific-online conference Bu tenglamadagi noma’lum funksiya u(x) integral ishorasidan tashqarida ham ishtirok etmoqda. (1.1) va (1.2) dagi λ tenglamaning parametri deb ataladi. Bu tenglamalardagi f(x) funksiya I (a≤x≤b) kesmada, K(x,t) yadro esa P(a≤x≤b, a≤t≤b) yopiq sohada berilgan deb hisoblanadi. Agar I kesmada f(x)≡0 bo„lsa, (1.2) tenglama quyidagi ko„rinishga keladi: b u(x)  K(x,t)u(t)dt (3) a Bunday tenglama bir jinsli integral tenglama deyiladi. u(x)  0 uning nol (trivial) yechimi bo‘ladi. Agar (1.3) tenglama biror  da u (x)  0 yechimga ega bo‘lsa, u holda  ga K(x,t) yadroning yoki (1.2) tenglamaning xos qiymati (xos soni) deyiladi. Unga mos u (x)  0 yechimga esa K(x,t) yadroning yoki (1.2) tenglamaning xos funksiyasi deyiladi. (1.2) tenglama uchun quyidagi Fredgolm teoremasi deb nomlanuvchi teorema o‘rinli. Teorema: K(x,t) yadro regulyar va f (x) uzluksiz funksiya bo‘lsin. 1) Agar  soni K(x,t) yadroning xos qiymati bo‘lmasa, u holda unga mos (1.2) tenglama yagona u(x), x(a  x  b) uzluksiz yechimga ega bo‘ladi. 2) Agar  soni K(x,t) yadroning xos qiymati bo‘lmasa, u holda bir jinslimas (1.2) tenglamalar yoki yechimga ega bo‘lmaydi yoki cheksiz ko‘p chiziqli bog‘lanmagan yechimga ega bo‘ladi. Agar (1.2) tenglamada K(x,t) yadro K(x,t)  K(