KARRALI INTEGRALLARNING OPTIMALLASHTIRISH MASALALARIDAGI TATBIQLARI

Аннотация

Mazkur maqolada karrali integrallarning optimallashtirish masalalarida qo‘llanilishi, ularning turli fizikaviy va muhandislik sohalarida modellashtirish va hisoblash jarayonlarida tutgan o‘rni yoritilgan. Keltirilgan misollar orqali karrali integral yordamida chegaralangan sohalardagi funksional miqdorlarni minimal yoki maksimal qiymatga olib keluvchi shartlarni aniqlash metodikasi yoritiladi. Kalit so‘zlar: karrali integral, funksional, optimallashtirish, chegaralangan soha, variatsion hisob, tatbiq. Matematik analizda karrali integrallar fazoviy funksiyalarni aniqlash, sirt yoki hajm orqali o‘rtacha miqdorlarni hisoblashda keng qo‘llaniladi. Ayniqsa, optimallashtirish masalalarida karrali integrallarning qo‘llanilishi real hayotdagi murakkab jarayonlarni modellashtirishda muhim vosita hisoblanadi. Bunday masalalarning ko‘pchiligi fizika, iqtisod, muhandislik, ekologiya va informatika kabi fanlarda yuzaga keladi. Ularning yechimi esa ma’lum bir funksionalni eng kichik yoki eng katta qiymatga olib borish uchun karrali integral orqali ifodalanadi. Karrali integral — bu ikki yoki undan ortiq o‘zgaruvchiga bog‘liq funksiyaning biror mintaqa bo‘yicha integral qiymatini ifodalaydi. Optimallashtirishda esa bu integral funksional shaklida ko‘rinib, chegaraviy shartlar asosida minimum yoki maksimum qiymatlarni topish orqali aniqlanadi. Matematikaning ko‘plab amaliy tarmoqlarida, xususan, muhandislik, fizika, iqtisodiyot va texnologiyada turli miqdorlarni optimallashtirish zarurati paydo bo‘ladi. Masalan, muhandislikda materiallar deformatsiyasini minimallashtirish, iqtisodiyotda xarajatlarni kamaytirish yoki daromadni oshirish, ekologiyada ifloslanish darajasini nazorat qilish kabi vazifalar shular jumlasidandir. Bunday optimallashtirish masalalarining aksariyatida ob'ekt yoki jarayon fazoviy ko‘rinishga ega bo‘lib, ularni faqat bir o‘zgaruvchi orqali emas, balki ikki yoki undan ortiq o‘zgaruvchilar orqali ifodalashga to‘g‘ri keladi. Bu holatlarda karrali integrallar yordamida aniqlanadigan funksional miqdorlar muhim rol o‘ynaydi. Masalan, ikki o‘lchovli soha (masalan, yer yuzasi) yoki uch o‘lchovli hajm (masalan, gaz hajmi) bo‘yicha fizik yoki iqtisodiy miqdorlarni hisoblashda karrali integrallar vositasida optimal holatga erishish 85 ACADEMIC RESEARCH IN MODERN SCIENCE International scientific-online conference imkoniyati yaratiladi. Bu esa variatsion hisob nazariyasiga asoslangan holda yechimlar izlashni taqozo etadi. Shu bilan birga, bugungi kunda kompyuter texnologiyalari va raqamli hisoblash usullarining jadal rivojlanishi natijasida, karrali integralga asoslangan optimallashtirish masalalarini raqamli metodlar yordamida yechish imkoniyatlari kengaymoqda. Bu esa ilmiy-texnik va iqtisodiy sohalarda real muammolarni aniqlik bilan modellashtirish va optimal boshqaruvni ta'minlashga xizmat qiladi. Mazkur maqolada aynan karrali integrallar yordamida tuziladigan funksionallarni minimallashtirish yoki maksimallashtirish orqali optimallashtirish masalalarini qanday hal etish mumkinligi, hamda bu yondashuvning amaliy sohalardagi tatbiqlari tahlil qilinadi. Karrali integrallar va optimallashtirishning umumiy modeli Optimallashtirish masalalarida maqsad funksiyani chegaralangan soha bo‘yicha maksimal yoki minimal qiymatga olib borishdir. Karrali integral bu holatda quyidagicha ifodalanadi: J[u]=∬DF(x,y,u(x,y),ux,uy) dxdyJ[u] = \iint\limits_{D} F(x, y, u(x, y), u_x, u_y) \, dxdyJ[u]=D∬F(x,y,u(x,y),ux,uy)dxdy Bu yerda: DDD – karrali integrallash sohasi; u(x,y)u(x, y)u(x,y) – optimallashtirilayotgan funksiya; FFF – funksional yadrosi. Bunday turdagi masalalar variatsion hisobning asosiy yo‘nalishlaridan biri bo‘lib, masalan, fizikada eng qisqa yo‘l, minimal sirt yoki issiqlik taqsimoti kabi modellarda ishlatiladi. Fizikaviy tatbiqlar: Masalan, elastik plastinkani deformatsiyalashda energiyani minimallashtirish uchun ishlatiladigan funksional, deformatsiyalarning umumiy energiyasini ifodalovchi karrali integralga asoslanadi. U quyidagicha bo‘lishi mumkin: J[u]=∬D(12k(ux2+uy2)−fu)dxdyJ[u] = \iint\limits_{D} \left( \frac{1}{2}k(u_x^2 + u_y^2) - fu \right) dxdyJ[u]=D∬(21k(ux2+uy2)−fu)dxdy bu yerda kkk — modulli koeffitsiyent, fff — tashqi kuch. Iqtisodiy modellashtirish: Resurslarning taqsimoti masalalarida karrali integrallar orqali hududiy optimal resurs ajratilishi ifodalanadi. Masalan, yer yuzasi bo‘yicha investitsiyalarni optimal taqsimlash masalasi: 86 ACADEMIC RESEARCH IN MODERN SCIENCE International scientific-online conference J[u]=∬D(P(x,y)u(x,y)−C(u(x,y)))dxdyJ[u] = \iint\limits_{D} \left( P(x, y)u(x, y) - C(u(x, y)) \right) dxdyJ[u]=D∬(P(x,y)u(x,y)−C(u(x,y)))dxdy bu yerda PPP — foyda koeffitsiyenti, CCC — xarajat funksiyasi. Kompyuter grafikasi va mashinali o‘rganish: Segmentatsiya, optimal kontur topish (active contour models) kabi vazifalarda karrali integrallarga asoslangan energiya funksiyalari minimallashtiriladi. Karrali integrallar optimallashtirish masalalarining nazariy va amaliy asoslarini shakllantirishd