UCH KARRALI INTEGRALDA OʻZGARUVCHILARNI ALMASHTIRISH VA UNING TATBIQLARI

Аннотация

Mazkur maqolada uch karrali integrallarning xossalari hamda karrali integrallar bilan yechimi topiladigan amaliy masalalarni chuqurroq o‘rganib, u asosida muhim ba’zi bir tengliklarni isbotlaymiz va amaliyotda ko‘p qo‘llaniladigan muhim integrallarning qiymatlarini hisoblaymiz. Kalit so‘zlar:uch karrali integral, oʻzgaruvchilarni almashtirish, chegaralangan yopiq soha, silindrik koordinatalar sistemasi, sferik koordinatalar sistemasi, elliptik koordinatalar sistemasi, yakobian. Ushbu ishda uch karrali integralda oʻzgaruvchilarni almashtirish qanday boʻlishini tushuntiriboʻtamiz. Fazo xyz toʻgʻri burchakli koordinatalar sistemasiga, boshqa bir fazo esa xhz ( ) koordinatalar sistemasiga ega boʻlsin. Bu fazolarda mos ravishda S va ( ) sirtlar bilan chegaralangan ikkita ( D ) va (D) yopiq sohalarni qaraylik. Bu sohalar bir – biri bilan quyidagi formulalar x = x (x,h,z) y = y (x,h,z) (1) z = z (x,h,z) bilan oʻzaro bir qiymatli uzluksiz munosabat bilan bogʻlangan boʻlsin. Buning uchun ( ) ( ) sirtningnuqtalariga S sirtning nuqtalari moskelishi kerak vaaksincha. (1)funksiyalar (D) sohada uzluksizxususiy hosilalarga ega boʻlsin.Uholda 15 INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS ISSN:3030-332X Impact factor: 8,293 Volume 11,issue2,May 2025 https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR worldly knowledge Index: googlescholar, research gate, research bib, zenodo,open aire. https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X ( ) D x,y,z (2) D (x,h,z) Yakobian ham (D) sohada uzluksiz funksiya boʻladi. Bu ditermenantni har doim noldan farqli vaishorasini saqlasin debhisoblaymiz. Agar (D) sohada ushbu x=x( u,v ) , h=h( u,v ) , z=z( u,v ) (3) boʻlakli-silliq sirtni olsak, (1) formula bu sirtni D sohadagi boʻlakli-silliq sirtga akslantiradi. Bu sirtesa x= x ( x( u,v ) ,h( u,v ) ,z( u,v )) = x ( u,v ) , y= y ( u,v ) (4) z = z ( u,v ) tenglamabilan aniqlanadi. Silliq sirtboʻlgan hol uchun qaraylik. Undamaxsusnuqtalar yoʻq,ushbu ditermenantlar D (h,z) D (x,z) D (x,h) , , (5) ( ) ( ) ( ) D u,v D u,v D u,v birvaqtda nolga teng emas. U holdaushbu munosabatlar D ( y,z ) D ( y,z ) D (h,z) D ( y,z ) D (x,z) D ( y,z ) D (x,h) = + + , D ( u,v ) D (h,z) D ( u,v ) D (x,z) D ( u,v ) D (x,h) D ( u,v ) D ( z,x ) D ( z,x ) D (h,z) D ( z,x ) D (x,z) D ( z,x ) D (x,h) = + + , D ( u,v ) D (h,z) D ( u,v ) D (x,z) D ( u,v ) D (x,h) D ( u,v ) D ( x,y ) D ( x,y ) D (h,z) D ( x,y ) D (x,z) D ( x,y ) D (x,h) = + + D ( u,v ) D (h,z) D ( u,v ) D (x,z) D ( u,v ) D (x,h) D ( u,v ) noldan farqli. x,h,z sonlar xyz fazoning nuqtasining qiymatlarini aniqlaydi, yoki shu nuqtaning egri chiziqli koordinatalari deb yuritiladi. xyz tekislikning nuqtasining har bir koordinatasi oʻzgarmas qiymatni saqlaydi va koordinatali sirtni tashkil etadi. Bunday koordinatali sirtlar oilasi ( ) hammasi boʻlib uchtadan iborat boʻladi. D sohaning har bir nuqtasida bunday koordinatali sirtlar oilasi oʻtadi. ( D ) va (D) sohalarni oʻzaro bir qiymatli mosligi oʻrnatiladi. Ba’zan bu moslikamaliyotda buziladi. 16 INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS ISSN:3030-332X Impact factor: 8,293 Volume 11,issue2,May 2025 https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR worldly knowledge Index: googlescholar, research gate, research bib, zenodo,open aire. https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X Ba’zibir koordinatlarsistemasini koʻrib chiqaylik. 1) Silindrik koordinatalar sistemasi qutb koordinatasi bilan z appilikatali xy tekislik bilanbogʻlaydi. Koordinatali koʻrinishi ushbu x =rcosq, y =rsinq, z = z formulakoʻrinishidan iborat boʻladi. Bu formulalaryordamida 0 r< + , 0 q<2p, - < z< + soha butun xyz fazoga akslanadi. r=0, z = z toʻgʻri chiziq ( 0,0,z ) nuqtaga akslanadi. Shu holatdaoʻzarobirqiymatli moslik buziladi. Qaralayotgan hollarda koordinatali sirtlar quyidagichaboʻladi. (a) r=const - silindrik sirt oz oʻqiga parallel boʻladi: yoʻnaltiruvchisi markazi koordinataboshidaboʻlgan xy tekislikdagi aylanadan iboratdir. (b)q=const - oz oʻqidan oʻtuvchi yarim tekislik. (c) z =const - xy tekislikkaparallel tekislik. Yuqorida almashtirishningyakobiani x y z cosq sinq 0 r r r cosq sinq x y z = J = -rsinq rcosq 0 =r =r. q q q -sinq cosq x y z 0 0 1 z z z 17 INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS ISSN:3030-332X Impact factor: 8,293 Volume 11,issue2,May 2025 https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR worldly knowledge Index: googlescholar, research gate, research bib, zenodo,open aire. https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X r=0 danboshqa hollardayakobian musbat ishorani saqlaydi. 2) Sferik koordinatalar sistemasi fazodagi qutb koordinatalarni Dekart koordina