FUNKSIYA HOSILASI TA’RIFI, UNING GEOMETRIK VA MEXANIK MA’NOLARI

Аннотация

ushbu maqolada akademik litseylarda o‘qiydigan o‘quvchilarga funksiya hosilasi ta’rifi, uning geometrik va mexanik ma’nolari yordamida hosilanini hisoblashni raqamli texnologiyalar yordamida o‘qitishni joriy etish orqali ta’lim sifatini oshirish, matematik tasavvur, mantiqiy fikirlash haqida so‘z yuritilgan. Kalit so’zlar: Hosila tushunchasiga olib keladigan masalalar, Fuksiya hosilasi, Hosila ta’rifi, Differensiallash, uning asosiy qoidalari va formulalari, Hosilaning geometrik va fizik ma’nolari, Hosila hisoblash qoidalari, Ko‘paytmaning hosilasi. Yig‘indining hosilasi. Bo‘linmaning hosilasi. 1. Hosila tushunchasiga olib keladigan masalalar. Hosila tushunchasiga olib keladigan masalalar jumlasiga qattiq jismni to‘g‘ri chiziqli harakatini, yuqoriga vertikal holda otilgan jismning harakatini yoki dvigatel silindridagi porshen harakatini tekshirish kabi masalalarni kiritish mumkin. Bunday harakatlarni tekshirganda jismning konkret o‘lchamlarini va shaklini e‘tiborga olmay, uni harakat qiluvchi moddiy nuqta shaklida tasavvur qilamiz. Biz bitta masalani olib qaraymiz. Harakat tezligi masalasi. Aytaylik, M moddiy nuqtaning to‘g‘ri chiziqli harakat qonuniga ko‘ra uning t=t paytdagi tezligini (oniy tezligini) topish talab 0 qilinsin. Nuqtaning t ваt  t  t  0  vaqtlar orasidagi bosib o‘tgan yo‘li 0 0 S  f  t  t   f  t  bo‘ladi. Uning shu vaqtdagi o‘rtacha tezligi 0 0 S f t  t  f t  0 0 ga teng. t t Выпуск журнала №-27 Часть–1_Июнь –2025 411 MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT Ma‘lumki, qanchalik kichik bo‘lsa, o'rtacha tezlik nuqtaning t paytdagi tezligiga shunchalik yaqin bo‘ladi. Shuning uchun 0 nuqtaning t paytdagi tezligi quyidagi limitdan iborat. 0 2. Fuksiya hosilasi. Hosila ta’rifi. Faraz qilaylik biz chiziqning nuqtasidagi urinmasini topmoqchimiz. - nuqtada chiziqqa o’tkazilgan urinmaning burchak koeffisienti bo’lsin. nuqtaga o’tkazilgan urinmaning ikkinchi nuqtasini olaylik. Hamda vatarning gradientini deb qaraylik. Yetalicha kichik uchun Agar biz nuqtani ga yaqinlashtirsak , , … nuqtalar ketma-ketligi hosil bo’ladi. Bu nuqtalarga mos , , …vatarlarni chiziqning nuqtasidagi urinmasiga qadar yaqinlashtiraylik. (*)1 (*) tenglikka funksiyaning nuqtadagi hosilasi deyiladi. Namunaviy misollar. 1. funksiya limitini hisoblang. Yechish. Agar bo’lsa u holda bo’ladi. Bundan Misollar: Выпуск журнала №-27 Часть–1_Июнь –2025 412  t S t V t  lim 0 t0 t y  f ( x ) A(x, f (x)) m A T A B(xh, f (xh)) A B m A B h m A B y x B B B y x A A f ( x  A h ) h  f ( x ) B B B 1 2 3 AB 1 f  ( x )  lB i n A m A B n  l i m h  0 f ( x  h ) h  f ( x ) A B 2 A B 3 A x f f ( x ( x ) ) x x 2 2 f ( x  h )  ( x  h ) 2 f (xh) f (x) (xh)2  x2 f(x) lim lim  h0 h h0 h x2 2xhh2  x2 h(2xh) lim lim  2x h0 h h0 h MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT Quyidagi funksiyalarning hosilalarini (*) formulasidan foydalanib toping. 1. 2. 3. y=f(x) funksiya (a,b) intervalda aniqlangan bo‘lsin (a,b) intervalga tegishli x 0 va x + nuqtalarni olamiz. 0 Argument biror (musbat yoki manfiy - bari bir) orttirmasini olsin, u vaqtda y funksiya biror orttirmani oladi. Shunday qilib argumentning x 0 qiymatida y =f(x ) ga, argumentning x + qiymatda ga ega 0 0 0 bo‘lamiz. Funksiya orttirmasi ni topamiz. Funksiya orttirmasini argument orttirmasiga nisbatini tuzamiz. Bu – nisbatning 0 dagi limitini topamiz. Agar bu limit mavjud bo‘lsa, u berilgan f(x) funksiyaning x nuqtadagi 0 hosilasi deyiladi va bilan belgilanadi. Shunday qilib, ta'rifga ko‘ra yoki Demak, berilgan y=f(x) funksiyaning argument x bo‘yicha hosilasi deb, argument orttirmasi ixtiyoriy ravishda nolga intilganda funksiya orttirmasi ning argument orttirmasi ga nisbatining limitiga aytiladi. Umumiy holda x ning har bir qiymati uchun hosila ma'lum qiymatga ega, ya’ni hosila ham x ning funksiyasi bo‘lishini qayd qilamiz. Hosilada belgi bilan birga boshqacha belgilar ham ishlatiladi. 2 Hosilaning x=a dagi konkret qiymati yoki bilan belgilanadi. Выпуск журнала №-27 Часть–1_Июнь –2025 413  х f f f ( ( ( x x x ) ) ) x 3 2 x x 2 х у  у  f  x  x  0 0 y y x f f  x 0  x 0 x x x f f   x 0   x 0  1 4 . 1  1 4 . 2  f   x 0 y f x x f x  f x  lim fx  lim 0 0 14.3 0 x0 x 0 x0 x х y y ; y f ,  x d d y x f   x  f а  y xa MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT Funksiya hosilasini hosila ta'rifiga ko‘ra hisoblashni ko`ramiz. 3. Differensiallash, uning asosiy qoidalari va formulalari. Berilgan f(x) funksiyadan hosila topish amali shu funksiyani differensiallash deyiladi. Differensiallashning asosiy qoidalari. 1. O‘zgarmas miqdorning hosilasi nolga teng, ya‘ni agar y=c bo‘lsa (c=const) y'=0 bo‘ladi. 2. O‘zgarmas ko‘paytuvchini hosila ishorasidan tashqariga chiqarish mumkin: y=cu(x) bo‘lsa y'=cu'(x) bo‘ladi. 3. Chekli sondagi differensiallanuvchi funksiyalar yig‘indisining hosilasi shu funksiyalar hosilalarining yig‘indisiga teng: 4. Ikkita differensiallanuvchi funksiyalar ko‘paytmasining hosilasi birinchi funksiya hosilasining ikkinchi fun