МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ РЕШЕНИЯ ДРОБНО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Аннотация

В работе представлены результаты теоретического обоснования применения метода Бубнова-Галеркина и Ритца для нахождения численного решения уравнений с операторами дробного дифференцирования. Задана структура численного решения и получена оценка погрешности приближенного решения по метрике энергетического пространства, порожденного оператором дробного дифференцирования. Ключевые слова: уравнение, метод, решение, метод Бубнова- Галеркина, метод Ритца. Введение. В последние годы наблюдается растущий интерес в области дробного исчисления. Дробные дифференциальные уравнения привлекли повышенное внимание. Актуальность этого работы состоит в том, что дробно-дифференциальные уравнения имеют применение в различных областях науки и техники. Многие явления в механике жидкости, вязкоупругости, химии, физике, финансам и другим наукам можно описать моделями с помощью математических инструментов из теории дробного исчисления. Данные задачи, как правило, точно не решаются, поэтому весьма остро стоят вопросы разработки и применения приближенных методов решения с последующим их теоретическим обоснованием для этих уравнений. Отметим, что в последнее время в научной литературе появляются работы, в которых предложены численные методы для https://scientific-jl.com/luch/ 3 8 8 Часть-42_ Том-1_ Апрель-2025 некоторых классов уравнений. Однако, несмотря на достигнутый успех в этом направлении, остается открытым вопрос теоретического обоснования применения приближенных методов для более общего класса подобных задач. Методика исследования. Целью этого работы является разработка вычислительной схемы для численного решения дробно-дифференциального уравнения. В работе предлагается обобщенный метод Бубнова-Галеркина и Ритца для нахождения приближенного решения дробно-дифференциальных уравнений. Рассмотрим уравнение: https://scientific-jl.com/luch/ 3 8 9 Часть-42_ Том-1_ Апрель-2025 D (  ) u + T u = f , u , f  L 2 [ 0 , 2  ] , (1) где D (  ) = 2 c o s 1 2 ( D (+  ) + D (−  ) ) определяется с помощью операторов дробного дифференцирования D (  ) , определяемых для дробных ( ) производных для функций  x , заданных на отрезке [ a , b ] , по формулам: ( ) def 1 d x  ( t ) dt D () ( x ) =  , −   x  , a+  ( 1−  ) dx ( x −t ) a (2) ( ) def 1 d b  ( t ) dt D () ( x ) =  , −   x  , b−  ( 1−  ) dx ( x −t ) x здесь 01. Производные (2) принято также называть производными Римана-Лиувилля порядка α, левосторонним и правосторонним, соответственно. u - неизвестная, а f - заданная функции из пространства ( ) L [0, 2]. T - некоторый оператор, для которого D () +T - линейный 2 оператор и в общем случае неограниченный и не положительно определенный. Для достаточно хороших функций оператор https://scientific-jl.com/luch/ 3 9 0 Часть-42_ Том-1_ Апрель-2025 D (  ) совпадает с оператором Вейля для дробного дифференцирования и действует по правилу: D () u ~  k  u eikx . (3) k Здесь u k - суть коэффициенты Фурье для функции u. Для оператора справедливы следующие леммы. Лемма 1.1. D (  ) положительно определенный оператор. Лемма 1.2. D (  ) - симметричный оператор. Учитывая это, введем скалярное произведение и норму соответственно: [ u , v ] = ( D (  )u , v ), [ u ] = ( D (  )u , u ) 1 2 . В явном виде скалярное произведение будет выражено как: [ u , v ] = ( D (  ) u , v ) = 2 1 2 0 k u k k  e ik x v ( x ) d x = k k  u k v k . Пополняя D ( D (  ) ) по введенной норме, получим энергетическое пространство, обозначим которое через H D . ( ) Умножая исходное уравнение (1) на произвольную функцию vD D () , получим следующее уравнение: ( ) ( ) [u, v]+ Tu,v = f,v . (4) Уравнение (4) допускает обобщённую постановку задачи. Обобщенным решением уравнения (1) назовем функцию удовлетворяющую уравнению (4) для любой функции https://scientific-jl.com/luch/ 3 9 1 Часть-42_ Том-1_ Апрель-2025 v  H D . Согласно методу Бубнова-Галеркина, в энергетическом пространстве H D выбирается система базисных функций  , j =1,N . Приближенное j решение ищется в виде многочлена по выбранной системе базисных функций в виде: u N = N = 1 a j j . (5) Неизвестные коэффициенты a j определяются из системы уравнений вида:  u N ,  k  + ( T u N ,  k ) = ( f ,  k ) , k = 1 , N . (6) Учитывая представление (5) и линейность введенного и обыкновенного скалярных произведений, получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений N N   ( ) a  ,  + a T ,  = ( f ,  ) , k =1,N . j j k j j k k j=1 j=1 (7) Теорема. Пусть 1) уравнение (1) имеет единственное решение при данной правой части. 2) Форма L ( u , v ) = [ u , v ] + ( T u , v ) является H D определенной и H ограниченной, т.е. выполняются условия: D L ( u, u )  2[u]2, L ( u,v )  2[u][v],  ,  const. 0 1 0 1 3) Последовательность подпространств H линейных оболочек функций  N j , j =1,N является предельно плотной в H . D Тогда при любом конечном N однозначно разрешима система (6) и приближенное решение https://scientific-jl.com/luch/ 3 9 2 Часть-42_ Том-1_ Апрель-2025 u N сходится к точ