BERUNIY VA ULUG’BEKNING TRIGONOMETRIK “ZIJ”LARI

Аннотация

Mustaqil davlatimizning kuch-qudrati xalqimizning umuminsoniy qadriyatlariga sodiqligidadir. Ushbu maqolada qomusiy olimlarimiz, shu jumladan yirik olimlarimizdan asosan Beruniy va Ulug’bekning matematika faniga qo’shgan hissalari haqida ma’lumot beriladi. Ulug’bek va uning ilmiy xodimlari tomonidan qo’lga kiritilgan fan sohasidagi yutuqlarning muhim natijasi bo’lib “Ulug’bek ziji” yoki “Ziji Ko’ragoniy” nomi bilan yuritiluvchi astronomik jadvallar haqida so’z yuritiladi. Maqolada mavzuga oid kalit so’zlar ham ta’kidlangan. Kalit so’zlar. “Ziji Ko’ragoniy”, trigonometriya, trigonometrik jadval, vatar, diametr , 𝜋 soni, sinus, kosinus, tangens, kotangens, gradus. Ulug’bek va uning ilmiy xodimlari tomonidan qo’lga kiritilgan fan sohasidagi yutuqlarning muhim natijasi bo’lib “Ulug’bek ziji” yoki “Ziji Ko’ragoniy” nomi bilan yuritiluvchi astronomik jadvallar hisoblanadi. “Ziji Ko’ragoniy” nazariy qismdan va Samarqand rasadxonasida bajarilgan astronomik kuzatishlar natijalaridan tashkil topgan. Kuzatish natijalari esa yil hisobi, trigonometrik va planetalar harakatlari jadvallari va yulduzlar kataloglaridan iborat. Ulug’bek ilmiy maktabi asarlarida trigonometrik jadvallar ham salmoqli o’rinni egallaydi. “Ulug’bek ziji” dagi trigonometrik jadvallar tuzish masalasiga bag’ishlangan bob sinus, sinus-verzus, kosinus shuningdek ular orasidagi umumiy https://scientific-jl.com/luch/ 8 8 Часть-42_ Том-1_ Апрель-2025 asosiy munosabatlar haqidagi umumiy xarakterdagi mulohazalardan boshlanadi. “Sinuslar va soyalar (ya’ni tangenslar), - davom etadi Ulug’bek, - bir gradus sinusi yordamida hisoblanadi”… Ulug’bek o’z zamonasining terminologiyasi qoidalariga binoan biror yoy tangensi va kotangensini hisoblaydi. Buning uchun u avvalo soya haqidagi masalani to’la-to’kis qarab chiqadi. Oldin tomonni, keyin aylana yoyini tadqiq qiladi. Soyaning har xil xossasini bayon etib, Ulug’bek asta-sekin masalani umulashtiradi va soyani trigonometrik chiziq sifatida qaray boshlaydi. Birinchi soya deb kotangensini qabul qiladi. Ulug’bek biron yoy (birinchi) soyasi bilan shu yoy to’ldirish soyasi orasidagi trigonometrik munosabatni tadqiq qiladi. Uning aytishicha: “Bu qoida zamin qilib olindi. Bu asosda soyalar jadvallarini hisoblash aylananing sakkizdan biri uchun jadvallar hisoblashga keltiriladi” Oxirida Ulug’bek aytadi: “Biz jadvallarda birinchi soyalarni keltirdik. Ular sinuslar kabi 45º dan 90º gacha esa – har besh minut uchun hisoblanadi. Boshqa jadvalda ikkinchi soyalar graduslarda berilgan”. Ulug’bek trigonometrik jadvallarning aniqlik darajasini bilish maqsadida ba’zi burchaklar, 20º, 23º, 26º lar sinuslarining qiymatlarini tekshiramiz. Oltmishlik sistemasidan o’nlik sistemasiga o’tib olamiz: Sin 20º = https://scientific-jl.com/luch/ 8 9 Часть-42_ Том-1_ Апрель-2025 2 6 0 0 + 6 3 0 2 + 1 6 6 0 3 + 6 2 0 1 4 + 6 3 0 5 ; Sin 23º = 2 6 3 0 + 6 2 0 6 2 + 3 6 7 0 3 + 6 5 0 5 4 + 2 6 6 0 5 ; 26 18 8 10 4 Sin 26º = + + + + 60 602 603 604 605 yoki, Sin 20º = 0,32020142, sin 23º = 0,390731129 , sin 26º = 0,438371147. Bu qiymatlarini ularning haqiqiy qiymatlari bilan solishtirb, quyidagi jadvalga ega bo’lamiz: Ulug’bek Haqiqiy hisobiga qiymati  sin  sin 20º 0,32020142 20º 0,32020143 23º 0,390731129 23º 0,390731128 26º 0,438371147 26º 0,438371147 Bu jadval nima demoqchi ekanligi ko’rinib turibdi, u sharhlashga muhtoj emas. Quyidagi misollarning yechilish usullarini keltiramiz. 1. cos20º cos40º cos80º ni hisoblang. Yechish yo’li: Berilgan ko’paytmani quyidagicha qilib yozamiz: https://scientific-jl.com/luch/ 9 0 Часть-42_ Том-1_ Апрель-2025 c = o s 2 2 s 0 i n 2 0 c o 8 0 4 s s 4 0 c i n 0 o 2 0 c o s 8 0 0 0 s 0 8 = 0 0 s 8 = i n s i 1 n 2 6 2 s i n 0 0 0 0 2 = 0 0 1 8 c . o s 2 2 s 0 i 0 n c 2 o 0 s 0 4 0 0 c o s 8 0 0 = 2 s i n 4 0 2 0 c 2 o s s i 4 n 0 2 0 0 c 0 o s 8 0 0 = Binobarin javob: 1 8 2. sinx + sin2x + sin3x + …+ sin nx yig’indini hisoblang. 3. Yechish yo’li: Berilgan yig’indini S bilan belgilab, ikkala tomonini 2sin х 2 sin nx ga ko’paytiramiz: 1 endi sinsin= ( cos ( − ) −cos ( + )) formula tadbiq qilinsa. Ya’ni 2 x x 3х 5x 7x 2n−1 2n+1 x 2n+1 sin S = cos −cos +сos −cos +...+cos x−cos x = cos −cos x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Bunda cos−cos= 2sin sin formula inobatga olinsa, quyidagi kelib 2 2 chiqadi: https://scientific-jl.com/luch/ 9 1 Часть-42_ Том-1_ Апрель-2025 2 s i n x 2  S = 2 s i n  ( n + 2 1 ) x  s i n n 2 x yoki S = s i n ( n + 2 s 1 ) i n x x 2 s i n n 2 x 1. cosx + cos 2x + cos 3x + …+ cos nx ni hisoblang. 2. Uchburchak tomonlarining uzunliklari sin 30º; sin 40º va sin 60º ga teng. Shu uchburchakning turini aniqlang. Yechish usullari. 1. Berilgan yig’indini S bilan belgilab, ikkala tomonini 2sin х 2 ga ko’paytiramiz: x x x x x x 3x 2sin S = 2sin cosx+2sin cos2x+2sin cos3x+...+2sin cosnx = −sin +cos − 2 2 2 2 2 2 2 3x 5x 5x 7x 2n−1 2n−1 2n+1 x n −sin +sin −sin +sin +...−sin x+sin x =sin x−sin = 2sin x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n+1 cos x 2 ( ) nx n+1 x sin cos 2 2 bundan S = x 2sin 2 2. Ma’lumki, quyidagi shartlarga as